Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{2}, W=\left\{(x, 4 x) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado apresenta o espaço vetorial V = \mathbb{R}^2 e o conjunto
W = \{(x,4x)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in \mathbb{R}\}.
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso usamos o critério de subespaço vetorial:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob soma de vetores.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero. Em W, se tomarmos x=0 obtemos
(0,4\cdot0) = (0,0),
que é justamente o vetor zero de \mathbb{R}^2. Logo, (0,0)\in W.

Passo 3

Testamos a soma de dois vetores quaisquer de W. Se \displaystyle u=(x_1,4x_1) e v=(x_2,4x_2)
com x_1,x_2\in\mathbb{R}, então
u+v = (x_1 + x_2,\;4x_1 + 4x_2) = \bigl(x_1 + x_2,\;4(x_1 + x_2)\bigr).
Como x_1+x_2 é real, u+v tem a forma (x,4x) e portanto pertence a W. Assim, W é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,4x)\in W. Então
\alpha\,u = \bigl(\alpha x,\;4(\alpha x)\bigr) = \bigl(\alpha x,\;4\alpha x\bigr).
Como \alpha x é real, \alpha u também tem a forma (x',4x') com x'=\alpha x. Logo, \alpha u\in W. Portanto W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

Sim. W satisfaz as três condições de subespaço de \mathbb{R}^2 e, portanto, é um subespaço vetorial de V.

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