Considere o seguinte sistema linear: \left\{\begin{array}{c}x+2 y-3 z=0 \\\ x-2 y+z=0\end{array}\right.
O conjunto solução do sistema linear é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^3\): \[\begin{cases} x + 2y - 3z = 0,\\\ x - 2y + z = 0.
O objetivo é encontrar o conjunto solução e verificar se ele é um subespaço vetorial de (\mathbb{R}^3]. Vamos usar que o conjunto solução de um sistema homogêneo é o núcleo de uma transformação linear e verificar suas propriedades.

Passo 2

Como o sistema é homogêneo (todos os termos livres são zero), o vetor nulo (0,0,0) satisfaz as duas equações. Assim, o conjunto solução contém o zero, uma das condições para ser subespaço.

Passo 3

Vamos resolver de modo paramétrico. Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x+2y-3z)-(x-2y+z)=0-0 \;\Longrightarrow\;4y-4z=0 \;\Longrightarrow\;y=z.
Agora, na segunda equação substituímos y=z:
x - 2z + z = 0 \;\Longrightarrow\;x = z.
Logo qualquer solução satisfaz x=y=z.

Passo 4

Introduzindo o parâmetro t=z, obtemos a forma vetorial da solução:
\{(x,y,z)\}=\{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\} =\mathrm{Span}\{(1,1,1)\}.
Esse conjunto é exatamente a reta em \mathbb{R}^3 que passa pela origem e, por ser o span de um vetor, é um subespaço vetorial de dimensão 1.

Resposta

Sim. O conjunto solução é \{(t,t,t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\mathrm{Span}\{(1,1,1)\},
que é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Exercícios relacionados