Considere o seguinte sistema linear:
O conjunto solução do sistema linear é um subespaço vetorial de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear homogêneo em
O objetivo é encontrar o conjunto solução e verificar se ele é um subespaço vetorial de (\mathbb{R}^3]. Vamos usar que o conjunto solução de um sistema homogêneo é o núcleo de uma transformação linear e verificar suas propriedades.
Passo 2
Como o sistema é homogêneo (todos os termos livres são zero), o vetor nulo
satisfaz as duas equações. Assim, o conjunto solução contém o zero, uma das condições para ser subespaço.
Passo 3
Vamos resolver de modo paramétrico. Subtraindo a segunda equação da primeira:
Agora, na segunda equação substituímos
:
Logo qualquer solução satisfaz
.
Passo 4
Introduzindo o parâmetro
, obtemos a forma vetorial da solução:
Esse conjunto é exatamente a reta em
que passa pela origem e, por ser o span de um vetor, é um subespaço vetorial de dimensão 1.
Resposta
Sim. O conjunto solução é
,
que é um subespaço vetorial de .
que é um subespaço vetorial de