Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[ \begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 2 & -4 & -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o espaço solução do sistema homogêneo A X=0, onde
A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ 3 & -1 & 0\\\\ 2 & -4 & -5 \end{pmatrix}.
O conteúdo é encontrar o núcleo de A, ou seja, o conjunto de vetores X=(x,y,z)^\mathsf{T} tais que A X=0.

Passo 2

Escrevendo A X=0 em forma de equações:
\begin{cases} -\,x + y + z = 0,\\\\ 3\,x - y = 0,\\\\ 2\,x - 4\,y - 5\,z = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação 3x - y = 0 obtemos
y = 3x.
Substituindo em -x + y + z = 0
-\,x + 3x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad z = -2x.

Passo 4

Verifique que a terceira equação
2x - 4y - 5z = 2x -4(3x) -5(-2x) = 2x -12x +10x = 0
é satisfeita automaticamente, mostrando que só há as duas relações acima. Logo resta um parâmetro livre, digamos t=x. Assim
x = t,\quad y=3t,\quad z=-2t,
o que mostra que o espaço solução é uma reta que passa pela origem, gerada por (1,3,-2).

Resposta

O espaço solução é uma reta pela origem, dada parametricamente por
(x,y,z) = t\,(1,3,-2),\quad t\in\mathbb{R}.

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