Se z^alpha representa o ramo principal da função potência, determine quem é a derivada as funções abaixo nos pontos indicados:
z^3 / 2, em z=1+i;

Passo 1

O exercício pede para encontrar a derivada da função f(z)=z^3/2 no ponto z=1+i, usando o ramo principal da potência. Vamos precisar da definição e da fórmula de derivada em funções complexas.

Passo 2

Na teoria de funções de variável complexa, ao definirmos , sua derivada é dada por f(z)=z^alpha=e^alphaLog(z). Aqui temos f'(z)=alpha z^alpha-1. Aplicando a fórmula com alpha=3/2, obtemos
alpha=3/2
Portanto, no ponto f'(z)=32,z^1/2 ,
z=1+i

Passo 3

Para calcular (1+i)^1/2 no ramo principal, escrevemos
1+i=raiz2,e^ipi/4
Logo,
(1+i)^1/2=(raiz2)^1/2,e^ipi/8=2^1/4e^ipi/8

Passo 4

Substituindo de volta, concluímos
f'(1+i)=32;2^1/4e^ipi/8

Resposta

f'(1+i)=32,2^1/4e^ipi/8

Exercícios relacionados