Encontre a derivada da função dada usando a definição e estabeleça os domínios da função e da derivada.
f(x)=5 x^2+3 x-2

Passo 1

Neste primeiro passo, resumimos o enunciado: queremos encontrar a derivada de f(x)=5x^2+3x−2 usando a definição de derivada por limite e também indicar os domínios de f e de f′. Como f é um polinômio, saberemos depois que seu domínio é todo o conjunto dos reais.

Passo 2

A definição de derivada que vamos usar é
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 3

Precisamos então calcular f(x+h). Substituindo x+h em f:
f(x+h)=5(x+h)^2+3(x+h)-2=5(x^2+2xh+h^2)+3x+3h-2=5x^2+10xh+5h^2+3x+3h-2

Passo 4

Agora formamos o quociente incremental:
f(x+h)-f(x)h=l(5x^2+10xh+5h^2+3x+3h-2r)-l(5x^2+3x-2r)h=10xh+5h^2+3hh=10x+5h+3

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando h→0:
f'(x)=limhto0(10x+5h+3)=10x+3

Resposta

A derivada é f’(x)=10x+3. Como f é um polinômio, Dom(f)=(-∞,∞) e Dom(f’)=(-∞,∞).

Exercícios relacionados