Calcule as integrais indefinidas abaixo:

Passo 1

Estamos querendo encontrar integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx. Esse conteúdo envolve integração por partes e a relação com funções hiperbólicas, mais precisamente a arsinh(x).

Passo 2

Primeiro, lembramos da identidade que liga logaritmos e a função inversa seno hiperbólico: arsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r). Ou seja, nosso integrando é exatamente arsinh(x).

Passo 3

Agora aplicamos integração por partes. Tomamos
u=arsinh(x), dv=dx
Então
du=1raiz1+x^2,dx, v=x
A fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du nos dá
integral arsinh(x),dx = x,arsinh(x) - integral xcdot 1raiz1+x^2,dx

Passo 4

Falta resolver integral xraiz1+x^2,dx. Fazemos a substituição t=1+x^2, logo dt=2x,dx e
integral xraiz1+x^2,dx = integral 12dtraizt = 12cdot 2raizt = raiz1+x^2

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
integral lnl(x+raiz1+x^2r),dx = x,arsinh(x) - raiz1+x^2 + C
E lembrando que arsinh(x)=lnl(x+raiz1+x^2r), podemos escrever do jeito original.

Resposta

xlnl(x+raiz1+x^2r)-raiz1+x^2+C

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