Calcule o comprimento de arco do gráfico das equações de A a B:
) u.c.

Passo 1

A equação da curva está dada por 8x = y^4 + 2y^2, e vamos calcular o comprimento de arco entre os pontos A(3/8,1) e B(33/16,2). O conteúdo é comprimento de arco de uma curva x(y) parametricamente em função de y. Usaremos a fórmula de comprimento de arco em termos de y:
L = integraly1^y2 raizl(tfracdxdyr)^2 + 1,dy

Passo 2

Isolamos x em função de y. Dividindo a equação original por 8, obtemos:
x(y) = y^4 + 2y^28

Passo 3

Calculamos a derivada de x(y):
dxdy = 18l(4y^3 - 2cdot2y^3r) = 18l(4y^3 - tfrac4y^3r) = tfrac12l(y^3 - y^-3r)

Passo 4

Montamos o integrando e simplificamos:
l(tfracdxdyr)^2 + 1 = 14(y^3 - y^-3)^2 + 1 = y^6 + y^-6 - 24 + 1 = y^6 + y^-6 + 24 = (y^3 + y^-3)^24
Daí
raiz(tfracdxdy)^2 + 1 = tfrac12(y^3 + y^-3)

Passo 5

Agora o comprimento de arco fica:
L = integral1^2 tfrac12(y^3 + y^-3),dy = tfrac12l(integral y^3,dy + integral y^-3,dyr)
As primitivas são tfracy^44 e -tfrac12y^-2, logo
L = l[tfracy^48 - tfrac14y^2r]1^2

Passo 6

Substituindo os limites: para y=2 vem 2 - tfrac116 = tfrac3116; para y=1 vem tfrac18 - tfrac14 = -tfrac18. A diferença é
tfrac3116 - l(-tfrac18r) = tfrac3316

Resposta

\tfrac{33}{16}

Exercícios relacionados