Um alpinista começa a subir uma montanha às 00:00, vai até o topo, e depois volta ao início concluindo o trajeto às 24:00. Mostre que existe um lugar do percurso em que o alpinista passa de manhã e de tarde no mesmo horário (por exemplo, às 5:00 e 17:00 horas).
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um alpinista que começa a subir uma montanha à meia-noite (00:00), chega ao topo e retorna, completando todo o trajeto às 24:00. Precisamos mostrar que existe um ponto no caminho onde o alpinista passa duas vezes no mesmo local, uma pela manhã e outra à tarde, mas em horários iguais (por exemplo, 5:00 e 17:00).
Conteúdo necessário: Vamos usar conceitos de funções contínuas e uma ideia semelhante ao Teorema do Valor Intermediário para resolver esse problema.
Passo 2
Vamos imaginar o trajeto do alpinista de duas maneiras:
- Subida: Representamos a posição do alpinista durante a subida como uma função
, onde é o tempo desde 00:00 até o momento em que ele chega ao topo. - Descida: Representamos a posição do alpinista durante a descida como uma função
, onde é o tempo desde o início da descida até as 24:00.
Ambas as funções
e
são contínuas porque o alpinista está se movendo suavemente sem saltos abruptos.
Passo 3
Agora, vamos considerar o tempo total do trajeto, que é de 24 horas. Podemos pensar em
variando de 0 a 24 (horas).
Queremos encontrar um ponto no percurso onde
para algum
. Isso significaria que no mesmo horário
, o alpinista está na mesma posição tanto na subida quanto na descida.
Passo 4
Para facilitar, vamos pensar em duas funções:
-
: posição na subida em horas após 00:00. -
: posição na descida em horas antes das 24:00.
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 5
Definimos uma nova função
.
Queremos encontrar
onde
, ou seja, onde
.
Passo 6
Vamos analisar os valores de
:
-
Quando
: -
. -
é a posição inicial (base da montanha). -
também é a posição inicial (pois ele retorna ao início às 24:00). - Então,
.
-
-
Quando
: -
. - Neste ponto,
é a posição às 12 horas da subida. -
é a posição às 12 horas da descida. - Não sabemos se são iguais, mas estamos procurando onde
cruza zero.
-
Passo 7
Pelo Teorema do Valor Intermediário, se
é contínua e muda de sinal em algum intervalo, então existe pelo menos um ponto
onde
.
Como
e considerando o movimento contínuo do alpinista, podemos concluir que existe pelo menos um momento durante o trajeto onde
, ou seja, o alpinista passa pelo mesmo ponto em horários iguais pela manhã e à tarde.
Resposta
Existe pelo menos um ponto no percurso onde o alpinista passa duas vezes no mesmo local, em horários iguais pela manhã e à tarde.