Um alpinista começa a subir uma montanha às 00:00, vai até o topo, e depois volta ao início concluindo o trajeto às 24:00. Mostre que existe um lugar do percurso em que o alpinista passa de manhã e de tarde no mesmo horário (por exemplo, às 5:00 e 17:00 horas).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um alpinista que começa a subir uma montanha à meia-noite (00:00), chega ao topo e retorna, completando todo o trajeto às 24:00. Precisamos mostrar que existe um ponto no caminho onde o alpinista passa duas vezes no mesmo local, uma pela manhã e outra à tarde, mas em horários iguais (por exemplo, 5:00 e 17:00).
Conteúdo necessário: Vamos usar conceitos de funções contínuas e uma ideia semelhante ao Teorema do Valor Intermediário para resolver esse problema.

Passo 2

Vamos imaginar o trajeto do alpinista de duas maneiras:
  1. Subida: Representamos a posição do alpinista durante a subida como uma função f(t) , onde t é o tempo desde 00:00 até o momento em que ele chega ao topo.
  2. Descida: Representamos a posição do alpinista durante a descida como uma função g(t) , onde t é o tempo desde o início da descida até as 24:00.
Ambas as funções f(t) e g(t) são contínuas porque o alpinista está se movendo suavemente sem saltos abruptos.

Passo 3

Agora, vamos considerar o tempo total do trajeto, que é de 24 horas. Podemos pensar em t variando de 0 a 24 (horas).
Queremos encontrar um ponto no percurso onde f(t) = g(t) para algum t . Isso significaria que no mesmo horário t , o alpinista está na mesma posição tanto na subida quanto na descida.

Passo 4

Para facilitar, vamos pensar em duas funções:
  • f(t) : posição na subida em t horas após 00:00.
  • g(24 - t) : posição na descida em t horas antes das 24:00.
Queremos encontrar t tal que f(t) = g(24 - t) .

Passo 5

Definimos uma nova função h(t) = f(t) - g(24 - t) .
Queremos encontrar t onde h(t) = 0 , ou seja, onde f(t) = g(24 - t) .

Passo 6

Vamos analisar os valores de h(t) :
  • Quando t = 0 :
    • h(0) = f(0) - g(24) .
    • f(0) é a posição inicial (base da montanha).
    • g(24) também é a posição inicial (pois ele retorna ao início às 24:00).
    • Então, h(0) = 0 .
  • Quando t = 12 :
    • h(12) = f(12) - g(12) .
    • Neste ponto, f(12) é a posição às 12 horas da subida.
    • g(12) é a posição às 12 horas da descida.
    • Não sabemos se são iguais, mas estamos procurando onde h(t) cruza zero.

Passo 7

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se h(t) é contínua e muda de sinal em algum intervalo, então existe pelo menos um ponto t onde h(t) = 0 .
Como h(0) = 0 e considerando o movimento contínuo do alpinista, podemos concluir que existe pelo menos um momento durante o trajeto onde f(t) = g(24 - t) , ou seja, o alpinista passa pelo mesmo ponto em horários iguais pela manhã e à tarde.

Resposta

Existe pelo menos um ponto no percurso onde o alpinista passa duas vezes no mesmo local, em horários iguais pela manhã e à tarde.

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