Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
sumk=1^infty(tan (k)-tan (k-1))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você nos pediu para analisar a série telescópica sumk=1^infty (tan(k) - tan(k-1)) e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica e como calcular sua soma, caso ela convirja.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao somar os termos, muitos deles acabam se cancelando, deixando apenas alguns poucos termos no final. Isso facilita muito encontrar a soma da série.
No nosso caso, temos a série:
sumk=1^infty (tan(k) - tan(k-1))
Vamos calcular a soma parcial Sn até o termo n :
Sn = sumk=1^n (tan(k) - tan(k-1))
Agora, expandindo os primeiros termos para ver o que acontece:
Sn = (tan(1) - tan(0)) + (tan(2) - tan(1)) + (tan(3) - tan(2)) + dots + (tan(n) - tan(n-1))
Observe que quase todos os termos se cancelam:
Sn = tan(n) - tan(0)
Sabemos que tan(0) = 0 , então:
Sn = tan(n)

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento de Sn quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty tan(n)
A função tan(n) não possui um limite definido quando n cresce sem bound. Isso porque o tan de valores crescentes de n vai alternando entre valores positivos e negativos, chegando a crescer sem limite próximo de certos múltiplos de pi/2 , onde a função não está definida.
Como o limite de Sn não existe (ou seja, a sequência dos termos parciais não se aproxima de um número finito), concluímos que a série não converge.

Resposta

A série sumk=1^infty (tan(k) - tan(k-1)) diverge.

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