Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você nos pediu para analisar a série telescópica
e determinar se ela converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender o que é uma série telescópica e como calcular sua soma, caso ela convirja.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. É uma série onde, ao somar os termos, muitos deles acabam se cancelando, deixando apenas alguns poucos termos no final. Isso facilita muito encontrar a soma da série.
No nosso caso, temos a série:
Vamos calcular a soma parcial
até o termo
:
Agora, expandindo os primeiros termos para ver o que acontece:
Observe que quase todos os termos se cancelam:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos analisar o comportamento de
quando
tende ao infinito:
A função
não possui um limite definido quando
cresce sem bound. Isso porque o
de valores crescentes de
vai alternando entre valores positivos e negativos, chegando a crescer sem limite próximo de certos múltiplos de
, onde a função não está definida.
Como o limite de
não existe (ou seja, a sequência dos termos parciais não se aproxima de um número finito), concluímos que a série não converge.
Resposta
A série
diverge.