Se phi(x, y, z)=x^3 y+(y-1) e^x cos (pi z) e C é a curva parametrizada por r(t)=(t, t^2, t^3) para 1 <= t <= 2, calcule o valor de integralC nabla phi cdot d r. Seja breve!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função phi(x, y, z) = x^3 y + (y-1) e^x cos (pi z) e uma curva C que é parametrizada por r(t) = (t, t^2, t^3) para t entre 1 e 2. A gente precisa calcular a integral de linha integralC nabla phi cdot dr. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a integral de linha, além do Teorema Fundamental para integrais de linha que simplifica bastante nossa vida.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função phi. O gradiente nabla phi é um vetor que contém todas as derivadas parciais de phi em relação a x, y e z.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial phipartial x = 3x^2 y + (y - 1) e^x cos(pi z) cos(pi z)
partial phipartial y = x^3 + e^x cos(pi z)
partial phipartial z = - (y - 1) e^x cos(pi z) x sin(pi z) pi
Então, o gradiente fica:
nabla phi = (3x^2 y + (y - 1) e^x cos(pi z) cos(pi z), ; x^3 + e^x cos(pi z), ; -pi x (y - 1) e^x cos(pi z) sin(pi z))

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental para integrais de linha, que nos diz que:
integralC nabla phi cdot dr = phi(r(2)) - phi(r(1))
Ou seja, basta calcular phi nos pontos finais da curva.

Passo 5

Calculando phi nos pontos:
Para t = 2: r(2) = (2, 4, 8)
phi(2, 4, 8) = 2^3 cdot 4 + (4 - 1) e^2 cos(8pi) = 32 + 3 e^2 cdot 1 = 32 + 3e^2
(Usamos que cos(8pi) = 1)
Para t = 1: r(1) = (1, 1, 1)
phi(1, 1, 1) = 1^3 cdot 1 + (1 - 1) e^1 cos(pi) = 1 + 0 = 1

Resposta

Então, a integral vale:
integralC nabla phi cdot dr = (32 + 3e^2) - 1 = 31 + 3e^2

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