Se
e
é a curva parametrizada por
para
, calcule o valor de
. Seja breve!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e uma curva
que é parametrizada por
para
entre 1 e 2. A gente precisa calcular a integral de linha
. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente e a integral de linha, além do Teorema Fundamental para integrais de linha que simplifica bastante nossa vida.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente
é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema Fundamental para integrais de linha, que nos diz que:
Ou seja, basta calcular
nos pontos finais da curva.
Passo 5
Calculando
nos pontos:
Para :
Para
(Usamos que
)
Para
:
Resposta
Então, a integral vale: