(2,0) Determine cada limite, se existir.
lim x 0^+(e^x-1)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de (e^x-1)^x quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+). Isso tá dentro do tópico de limites de funções exponenciais e logaritmos. Pra resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e possivelmente a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, é mais fácil trabalhar com logaritmos quando temos uma potência. Então, vamos aplicar o logaritmo natural aos dois lados da expressão:
ln((e^x-1)^x) = x cdot ln(e^x-1)
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de x cdot ln(e^x-1) quando x tende a 0 pela direita.

Passo 3

Vamos analisar ln(e^x-1). Sabemos que quando x é pequeno, e^x pode ser aproximado por sua expansão em série:
e^x = 1 + x + x^22 + dots
Então,
e^x - 1 approx x + x^22
Para valores muito pequenos de x, podemos simplificar para e^x - 1 approx x. Então,
ln(e^x-1) approx ln(x)

Passo 4

Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
limx to 0^+ x cdot ln(x)
Esse limite parece complicado, mas podemos reescrever como:
limx to 0^+ ln(x)1x
Agora, temos uma forma -infty+infty, que é uma indeterminação. Então, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de ln(x) em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1x em relação a x é -1x^2.
Então, aplicando L’Hôpital:
limx to 0^+ 1x-1x^2 = limx to 0^+ -x = 0

Passo 6

Voltando ao nosso passo anterior, sabemos que:
limx to 0^+ x cdot ln(e^x-1) = 0
Mas isso era o logaritmo da nossa expressão original. Então, para encontrar o limite original, precisamos usar a função exponencial:
limx to 0^+ (e^x-1)^x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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