Determine cada limite, se existir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0 pela direita (
). Isso tá dentro do tópico de limites de funções exponenciais e logaritmos. Pra resolver, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e possivelmente a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, é mais fácil trabalhar com logaritmos quando temos uma potência. Então, vamos aplicar o logaritmo natural aos dois lados da expressão:
Agora, nosso objetivo é encontrar o limite de
quando
tende a 0 pela direita.
Passo 3
Vamos analisar
. Sabemos que quando
é pequeno,
pode ser aproximado por sua expansão em série:
Então,
Para valores muito pequenos de
, podemos simplificar para
. Então,
Passo 4
Agora, substituímos de volta na expressão do limite:
Esse limite parece complicado, mas podemos reescrever como:
Agora, temos uma forma
, que é uma indeterminação. Então, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, aplicando L’Hôpital:
Passo 6
Voltando ao nosso passo anterior, sabemos que:
Mas isso era o logaritmo da nossa expressão original. Então, para encontrar o limite original, precisamos usar a função exponencial:
Resposta
O limite é igual a 1.