Altamente motivado pelos Exercícios 20 e 21, mostre que toda matriz-solução de um sistema linear
é a soma de uma solução do sistema homogêneo
com uma solução particular de
. Para isso, siga os seguintes passos:
i) Mostre que se
e uma solução particular de
e
é solução de
, então
é solução de
.
ii) Se
e
são soluções de
, então
é solução de
.
iii) Use
) e
) para chegar à conclusão desejada.
i) Mostre que se
ii) Se
iii) Use
Passo 1
O enunciado trata do sistema linear
, onde
é uma matriz dada,
é um vetor (ou matriz coluna) de termos independentes, e
é o vetor incógnita. O objetivo é mostrar que todo vetor solução pode ser escrito como soma de uma solução particular de
e de uma solução qualquer de
. Para isso, vamos usar as propriedades de linearidade da multiplicação matricial.
Passo 2
Mostramos a parte (i): suponha que
satisfaz
e que
satisfaz
. Então, pela linearidade de
,
Logo,
é solução de
.
Passo 3
Mostramos a parte (ii): suponha que
e
sejam duas soluções de
, isto é,
e
. Então
Portanto,
é solução do sistema homogêneo
.
Passo 4
Para concluir (parte iii), seja
qualquer solução de
e seja
uma solução particular fixa de
. Então, pelo item (ii),
é solução de
. Assim escrevemos
onde
é a parte particular e
é uma parte homogênea.
Resposta
Qualquer solução
de
pode ser escrita como
onde
é uma solução particular de
e
é uma solução de
.