Altamente motivado pelos Exercícios 20 e 21, mostre que toda matriz-solução de um sistema linear A X=B é a soma de uma solução do sistema homogêneo A X=0 com uma solução particular de A X=B. Para isso, siga os seguintes passos:
i) Mostre que se X0 e uma solução particular de A X=B e X1 é solução de A X=0, então X0+X1 é solução de A X=B.
ii) Se X1 e X2 são soluções de A X=B, então X1-X2 é solução de A X=0.
iii) Use i ) e ii ) para chegar à conclusão desejada.

Passo 1

O enunciado trata do sistema linear A X = B, onde A é uma matriz dada, B é um vetor (ou matriz coluna) de termos independentes, e X é o vetor incógnita. O objetivo é mostrar que todo vetor solução pode ser escrito como soma de uma solução particular de A X = B e de uma solução qualquer de A X = 0. Para isso, vamos usar as propriedades de linearidade da multiplicação matricial.

Passo 2

Mostramos a parte (i): suponha que X0 satisfaz A X0=B e que X1 satisfaz A X1=0. Então, pela linearidade de A,
A(X0+X1) =AX0+AX1 =B+0 =B
Logo, X0+X1 é solução de A X=B.

Passo 3

Mostramos a parte (ii): suponha que X1 e X2 sejam duas soluções de A X=B, isto é,
A X1=B e A X2=B. Então
A(X1-X2) =AX1-AX2 =B-B =0
Portanto, X1-X2 é solução do sistema homogêneo A X=0.

Passo 4

Para concluir (parte iii), seja X qualquer solução de A X=B e seja X0 uma solução particular fixa de A X=B. Então, pelo item (ii),
X-X0 é solução de A X=0. Assim escrevemos
X =X0+(X-X0),
onde X0 é a parte particular e X-X0 é uma parte homogênea.

Resposta

Qualquer solução X de A X=B pode ser escrita como
X=X0+Xh,
onde X0 é uma solução particular de A X=B e Xh é uma solução de A X=0.

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