Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas:
Passo 1
Estamos diante de um sistema linear de três equações em três incógnitas x,y,z:
4x + 12y + 8z = a, 2x + 5y + 3z = b, -4y - 4z = c
O conteúdo é teoria de sistemas lineares e a compatibilidade depende de a matriz dos coeficientes ser singular (determinante zero) e do vetor de termos independentes satisfazer a mesma relação linear. Iremos usar substituição para encontrar essa condição.
Passo 2
Da terceira equação
-4y - 4z = c
isolamos y:
y + z = -c4 Longrightarrow y = -c4 - z
Passo 3
Substituímos y = -tfracc4-z na segunda equação
2x + 5y + 3z = b
ficando
2x + 5l(-tfracc4-zr) + 3z = b ;Longrightarrow; 2x - 5c4 -5z +3z = b ;Longrightarrow; 2x = b + 5c4 +2z ;Longrightarrow; x = b2 + 5c8 + z
Passo 4
Agora substituímos x e y na primeira equação
4x + 12y + 8z = a
Usando x=tfracb2+tfrac5c8+z e y=-tfracc4-z, temos
4l(tfracb2+tfrac5c8+zr) +12l(-tfracc4-zr) +8z = a
Desenvolvendo:
2b + 5c2 +4z -3c -12z +8z = a ;Longrightarrow; 2b - c2 = a
Passo 5
A condição encontrada é
a = 2b - c2,
que podemos multiplicar por 2 para escrever de forma mais simétrica: