Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que sejam compatíveis os sistemas:
c4 x+12 y+8 z=a 2 x+5 y+3 z=b -4 y-4 z=c

Passo 1

Estamos diante de um sistema linear de três equações em três incógnitas x,y,z:
4x + 12y + 8z = a, 2x + 5y + 3z = b, -4y - 4z = c
O conteúdo é teoria de sistemas lineares e a compatibilidade depende de a matriz dos coeficientes ser singular (determinante zero) e do vetor de termos independentes satisfazer a mesma relação linear. Iremos usar substituição para encontrar essa condição.

Passo 2

Da terceira equação
-4y - 4z = c
isolamos y:
y + z = -c4 Longrightarrow y = -c4 - z

Passo 3

Substituímos y = -tfracc4-z na segunda equação
2x + 5y + 3z = b
ficando
2x + 5l(-tfracc4-zr) + 3z = b ;Longrightarrow; 2x - 5c4 -5z +3z = b ;Longrightarrow; 2x = b + 5c4 +2z ;Longrightarrow; x = b2 + 5c8 + z

Passo 4

Agora substituímos x e y na primeira equação
4x + 12y + 8z = a
Usando
x=tfracb2+tfrac5c8+z e y=-tfracc4-z, temos
4l(tfracb2+tfrac5c8+zr) +12l(-tfracc4-zr) +8z = a
Desenvolvendo:
2b + 5c2 +4z -3c -12z +8z = a ;Longrightarrow; 2b - c2 = a

Passo 5

A condição encontrada é
a = 2b - c2,
que podemos multiplicar por 2 para escrever de forma mais simétrica:
2a = 4b - c Long<=ftrightarrow 2a + c = 4b

Resposta

A condição de compatibilidade é
2a + c = 4b

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