3- Que alterações podem ser feitas em um sistema massa mola para dobrar a velocidade máxima da massa oscilante?

Passo 1

O enunciado pergunta como mudar os parâmetros de um sistema massa–mola oscilante de modo a dobrar a velocidade máxima da massa. O conteúdo é Movimento Harmônico Simples (MHS) e vamos precisar da expressão da velocidade máxima em função da massa m, da constante da mola k e da amplitude A.

Passo 2

No MHS, a frequência angular é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
e a velocidade máxima da massa é
v_{\text{max}} = A\,\omega = A\,\sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 3

Para dobrar a velocidade máxima, queremos
v'_{\text{max}} = 2\,v_{\text{max}} \quad\Longrightarrow\quad A'\,\sqrt{\frac{k'}{m'}} = 2\,\bigl(A\,\sqrt{\tfrac{k}{m}}\bigr).
Isso implica
A'\,\sqrt{\frac{k'}{m'}} = 2\,A\,\sqrt{\frac{k}{m}}.

Passo 4

Vejamos opções práticas para cumprir \;A'\sqrt{k'/m'}=2\,A\sqrt{k/m}. 1. Aumentar somente a amplitude pela razão 2, mantendo k e m inalterados:
A' = 2\,A,\quad k'=k,\quad m'=m.
  1. Dobrar a frequência angular (e manter A constante) exige
\sqrt{\frac{k'}{m'}} = 2\,\sqrt{\frac{k}{m}} \;\Longrightarrow\; \frac{k'}{m'} = 4\,\frac{k}{m}.
Duas escolhas simples são:
  • Quadruplar a constante elástica, mantendo a massa:
    k' = 4\,k,\;m'=m. - Reduzir a massa a um quarto, mantendo a mola:
    k'=k,\;m' = m/4.

Resposta

Dobrar a velocidade máxima pode ser obtido por qualquer uma das seguintes alterações:
(a) dobrar a amplitude: A'\!=\!2A mantendo k e m.
(b) quadruplar a constante elástica: k'\!=\!4k mantendo m.
(c) reduzir a massa a um quarto: m'\!=\!m/4 mantendo k.
Em geral, basta assegurar que
A'\,\sqrt{\frac{k'}{m'}} = 2\,A\,\sqrt{\frac{k}{m}}.

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