Considere um campo \mathrm{D}=3 \cdot \mathrm{x}^{2} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{y}} \cdot \mathrm{z}^{2} \cdot \mathbf{a}_{\mathbf{y}} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Avalie ambos os lados do teorema da divergência para o volume de um cubo definido por -3<x, y, z<N. (2,0).
\begin{array}{|llll|} \hline \varepsilon_{0}=8,854 \cdot 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m} & \vec{D}=\varepsilon_{0} \vec{E} \text { (vácuo) } & \vec{E}=\frac{\vec{F}}{Q} & \int \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \rightarrow \frac{1}{a^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\\ \mu_{0}=4 \cdot \pi \cdot 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} & \psi=\oint_{s} \vec{D} \cdot \vec{d} s=q_{e n v} & \mathrm{~V}=-\int_{c} \vec{E} \bullet d \vec{l} & \int \frac{x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \rightarrow \frac{-1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \\\ g=9,807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} & \oint_{s} \vec{D} \bullet \vec{d} s=\int_{v o l} \nabla \bullet \vec{D} d v=q_{e n v} & V=\frac{Q}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_{0} \cdot r} & \int \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{3 / 2}} \rightarrow \frac{-x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \\\ \vec{D}=\varepsilon \vec{E} & \nabla \equiv \frac{\partial}{\partial x} \vec{a}_{x}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{a}_{y}+\frac{\partial}{\partial z} \vec{a}_{z} & & \int \frac{1}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}} \rightarrow \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right) \\\ \vec{B}=\mu \vec{H} & & & \int \frac{x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{1 / 2}} \rightarrow \sqrt{x^{2}+a^{2}} \\\ \vec{F}_{12}=\frac{Q_{1} \cdot Q_{2}}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_{0} \cdot R_{21}^{2}} \vec{a}_{21} & & & Q_{1} \cdot Q_{2} \\\ \vec{F}_{12}=\frac{R_{21}}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_{0} \cdot R_{21}^{3}} & & & \\\ \hline \end{array}

  1. “A genialidade é 1 \% inspiração e 99 \% transpiração.” (Thomas Edison)

Passo 1

O enunciado dá o campo
\vec{D}(x,y,z)=3\,x^{2}\,e^{y}\,z^{2}\,\mathbf{a}_{y}
e pede para verificar o teorema da divergência no cubo definido por
-3\le x\le 2,\quad -3\le y\le 2,\quad -3\le z\le 2.
Isto é, mostrar que
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \vec{D}. Como só há componente em y,
\nabla\cdot\vec{D} =\frac{\partial}{\partial x}(0) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3\,x^{2}e^{y}z^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}(0) =3\,x^{2}z^{2}e^{y}.

Passo 3

Avaliação do lado volumétrico:
\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}\,dV =\int_{x=-3}^{2}\!\int_{y=-3}^{2}\!\int_{z=-3}^{2}3\,x^{2}z^{2}e^{y}\,dz\,dy\,dx.
Separando variáveis:
3\Bigl(\int_{-3}^{2}x^{2}dx\Bigr) \Bigl(\int_{-3}^{2}e^{y}dy\Bigr) \Bigl(\int_{-3}^{2}z^{2}dz\Bigr).
Calculamos
\int_{-3}^{2}x^{2}dx=\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-3}^{2} =\tfrac{8}{3}-(-9)=\tfrac{35}{3}, \quad \int_{-3}^{2}z^{2}dz=\tfrac{35}{3}, \quad \int_{-3}^{2}e^{y}dy=e^{2}-e^{-3}.
Logo
\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}\,dV =3\cdot\frac{35}{3}\cdot\bigl(e^{2}-e^{-3}\bigr)\cdot\frac{35}{3} =\frac{1225}{3}\,\bigl(e^{2}-e^{-3}\bigr).

Passo 4

Avaliação do fluxo pela superfície S. Só as faces em y=-3 e em y=2 contribuem, pois \vec{D} é paralelo a \mathbf{a}_{y}.
Na face y=2, o vetor normal exterior é +\mathbf{a}_{y}, então
\Phi_{y=2} =\iint_{x,z=-3}^{2}3\,x^{2}e^{2}z^{2}\,dx\,dz =3e^{2}\Bigl(\frac{35}{3}\Bigr)\Bigl(\frac{35}{3}\Bigr) =\frac{1225}{3}\,e^{2}.
Na face y=-3, o normal exterior é -\mathbf{a}_{y}, daí
\Phi_{y=-3} =\iint_{x,z=-3}^{2}\bigl(-3\,x^{2}e^{-3}z^{2}\bigr)\,dx\,dz =-\frac{1225}{3}\,e^{-3}.
Somando as duas faces:
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =\Phi_{y=2}+\Phi_{y=-3} =\frac{1225}{3}\,\bigl(e^{2}-e^{-3}\bigr).

Passo 5

Concluímos que os dois lados coincidem:
\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}\,dV =\frac{1225}{3}\,\bigl(e^{2}-e^{-3}\bigr).

Resposta

\oint_{S}\vec{D}\cdot d\vec{S} =\int_{V}\nabla\cdot\vec{D}\,dV =\frac{1225}{3}\,\bigl(e^{2}-e^{-3}\bigr).

Exercícios relacionados