1- Usando a relação trigonométrica para \cos (a+b) mostre que são equivalentes as duas formas de escrever a solução geral para o oscilador harmônico:
\begin{gathered} x(t)=\mathrm{a} \cos (\omega t)+\mathrm{b} \operatorname{sen}(\omega t) \\\ x(t)=A \cos (\omega t+\varphi) \end{gathered}
Encontre as relações entre as constantes arbitrárias a, b e A, \varphi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas formas
x(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)
e
x(t)=A\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr)
são equivalentes, encontrando como a,b se relacionam com A,\varphi. O conteúdo envolvido é a identidade trigonométrica de soma de ângulos para o cosseno.

Passo 2

Vamos usar a identidade
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Tomando \alpha=\omega t e \beta=\varphi, obtemos
\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr) =\cos(\omega t)\cos\varphi-\sin(\omega t)\sin\varphi.

Passo 3

Multiplicando por A, a segunda forma vira
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) =A\bigl[\cos(\omega t)\cos\varphi-\sin(\omega t)\sin\varphi\bigr].
Escrevendo em termos de \cos(\omega t) e \sin(\omega t), fica
x(t)=\bigl(A\cos\varphi\bigr)\cos(\omega t) \;+\;\bigl(-A\sin\varphi\bigr)\sin(\omega t).

Passo 4

Comparando com
x(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t),
vemos que os coeficientes devem satisfazer
a = A\cos\varphi, \qquad b = -\,A\sin\varphi.

Passo 5

Para expressar A e \varphi em termos de a,b, note que
A^2 = a^2 + b^2
porque
A^2\cos^2\varphi + A^2\sin^2\varphi = a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2.
Assim,
A = \sqrt{a^2 + b^2}.
Já para \varphi, dividindo b=-A\sin\varphi por a=A\cos\varphi
\frac{-b}{a} = \tan\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \arctan\!\Bigl(-\frac{b}{a}\Bigr),
ajustando o quadrante conforme o sinal de a e b.

Resposta

a = A\cos\varphi,\quad b = -A\sin\varphi,
A = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad \varphi = \arctan\!\Bigl(-\frac{b}{a}\Bigr).

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