5- Um pêndulo balístico é feito por um bloco de madeira de 10 Kg suspenso por um fio de 1 m de comprimento. No instante \mathrm{t}=0 o bloco é atingido por uma bala de 10 g . Sabendo que o ângulo máximo pelo qual o pêndulo é deslocado é 5,5^{\circ} calcule a velocidade da bala.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo balístico formado por um bloco de massa M=10,kg suspenso por um fio de comprimento L=1,m. Uma bala de massa m=0{,}01,kg atinge o bloco com velocidade v e fica alojada nele. Após a colisão, o sistema bloc o+bala sobe até um ângulo máximo de \theta=5{,}5^\circ. Para resolver, vamos usar:
  1. Conservação de quantidade de movimento (colisão inelástica) para encontrar a velocidade inicial do conjunto v'.
  2. Conservação de energia mecânica (entre o momento logo após a colisão e o ponto mais alto) para relacionar v' com o desnível alcançado.
  3. Geometria do pêndulo para calcular o desnível h a partir de \theta.

Passo 2

Aplicando conservação de quantidade de movimento na direção horizontal, logo antes e logo depois da colisão temos
m\,v = (M + m)\,v'\,,
onde v' é a velocidade do conjunto bloc o+bala imediatamente após o impacto. Portanto,
v' = \frac{m}{M+m}\,v\,.

Passo 3

O desnível h atingido pelo centro de massa do conjunto ao subir até \theta num pêndulo de comprimento L é
h = L\bigl(1 - \cos\theta\bigr)\,.
Substituindo L=1,m e \theta=5{,}5^\circ:
h = 1 - \cos\bigl(5{,}5^\circ\bigr)\approx 1 - 0{,}9954 = 0{,}0046\text{ m}.

Passo 4

A energia cinética do conjunto logo após a colisão converte-se em energia potencial gravitacional no ponto mais alto. Assim,
\tfrac12\,(M+m)\,v'^{2} = (M+m)\,g\,h.
Cancelando M+m e isolando v':
v' = \sqrt{2\,g\,h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8\cdot 0{,}0046} \approx 0{,}30\text{ m/s}.

Passo 5

Voltando à relação da colisão para encontrar v:
v = \frac{M + m}{m}\;v' = \frac{10 + 0{,}01}{0{,}01} \times 0{,}30 = 1001 \times 0{,}30 \approx 300\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade da bala é aproximadamente 300,m/s.

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