Altere e ordem de integração e obtenha o valor da integral:
integral0^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 1 d y d x;

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração da integral
integral0^3integral-raiz9 - x^2^raiz9 - x^21,dy,dx
e, em seguida, calcular esse valor. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais duplas e reconhecimento de área geométrica.

Passo 2

Primeiro, identificamos a região
R = l(x,y)mid 0 <= x <= 3,; -raiz9 - x^2<= y<= raiz9 - x^2r
Essa é a metade direita do disco de raio 3 centrado na origem.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos y. Na região R, y varia do valor mínimo -3 ao máximo 3. Para cada y dado, x vai de 0 até a fronteira do círculo, isto é,
x = raiz9 - y^2
Logo a integral com ordem trocada é
integraly=-3^3integralx=0^raiz9 - y^21,dx,dy

Passo 4

Calculamos a integral interna em x:
integral0^raiz9 - y^21,dx = l[xr]0^raiz9 - y^2 = raiz9 - y^2
Portanto a integral vira
integral-3^3raiz9 - y^2,dy

Passo 5

Reconhecemos integral-3^3raiz9 - y^2,dy como a área de um semicírculo de raio 3. Essa área é
12,pi,3^2 = 9pi2

Resposta

9pi2

Exercícios relacionados