Dada a função f definida por f(x)=ll3 x^2-5 x-2x-2 & se x<2 3-a x-x^2 & se x >= 2. Determine a in I R, para que exista lim x 2 f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= 3x^2-5x-2x-2, & x<2,[6pt] 3 - a,x - x^2, & x>=2,
e pede o valor de a para que limxto2f(x) exista. Como a existência do limite em x=2 exige que os limites laterais coincidam, vamos calcular limxto2^-f(x) e limxto2^+f(x) e depois igualá-los.]

Passo 2

Para x<2 temos
3x^2-5x-2x-2 =(3x+1)(x-2)x-2=3x+1(xneq2)
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limxto2^-f(x) =limxto2(3x+1) =3cdot2+1 =7

Passo 3

Para x>=2 a função é o polinômio 3 - a,x - x^2, contínuo em todo ponto. Então
limxto2^+f(x) =3 - acdot2 - 2^2 =3 -2a -4 =-1 -2a

Passo 4

Igualando os dois limites para garantir existência de limxto2f(x), temos
7 = -1 -2a Longrightarrow -2a = 8 Longrightarrow a = -4

Resposta

a=-4.

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