Calcule a integrais duplas:
integral duplaR x y^2x^2+1 d A onde R=[0,3] times[-3,3];

Passo 1

O enunciado pede calcular integral duplaRx,y^2x^2+1,dA em R=[0,3]times[-3,3]. O conteúdo é integração dupla com integrando separável, e vamos usar o Teorema de Fubini.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini:
integral duplaRx,y^2x^2+1,dA =integralx=0^3integraly=-3^3x,y^2x^2+1,dy,dx

Passo 3

Note que x,y^2x^2+1=xx^2+1cdot y^2, produto de função só de x por função só de y. Assim,
integral0^3integral-3^3xx^2+1,y^2,dy,dx =l(integral0^3xx^2+1,dxr),l(integral-3^3y^2,dyr)

Passo 4

Calcule integral-3^3y^2,dy. Como y^2 é função par,
integral-3^3y^2,dy =2integral0^3y^2,dy =2l[tfracy^33r]0^3 =2cdot9 =18

Passo 5

Calcule integral0^3xx^2+1,dx usando u=x^2+1, du=2x,dx:
integral0^3xx^2+1,dx =tfrac12integral1^10duu =tfrac12l[ln ur]1^10 =tfrac12ln(10)

Passo 6

Multiplicando os resultados:
integral duplaRx,y^2x^2+1,dA =tfrac12ln(10)times18 =9ln(10)

Resposta

9ln(10)

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