Alternadamente uma moeda é lançada e um dado é lançado, começando com a moeda. Qual é a probabilidade que a moeda registre uma "cara"antes que o dado registre um " 5 " ou " 6 "?

Passo 1

O problema pede a probabilidade de, em lançamentos alternados de uma moeda e de um dado (começando pela moeda), obter ‘cara’ na moeda antes de sair 5 ou 6 no dado. Vamos usar probabilidade condicional e séries geométricas para processos repetidos.

Passo 2

Primeiro, identificamos as probabilidades elementares: a moeda dá cara com probabilidade p=tfrac12, e o dado mostra 5 ou 6 com probabilidade d=tfrac26=tfrac13.

Passo 3

Definimos uma “rodada” completa como um lançamento da moeda seguido de um lançamento do dado. Numa rodada, há três cenários: (a) a moeda dá cara e ganhamos; (b) a moeda dá coroa e o dado sai 5 ou 6, e perdemos; © nenhum dos dois eventos ocorre e repetimos outra rodada.

Passo 4

A probabilidade de que nenhum evento decisivo ocorra numa rodada é a moeda dar coroa ( 1-p=tfrac12) e o dado não dar 5 nem 6 ( 1-d=tfrac23). Logo,
q=(1-p),(1-d)=tfrac12cdottfrac23=tfrac13

Passo 5

Seja r a probabilidade desejada. Pela decomposição em casos:
r=p + q,r

Passo 6

Substituindo p=tfrac12 e q=tfrac13 e resolvendo:
r=tfrac12 + tfrac13,r implies r-tfrac13r=tfrac12 implies tfrac23r=tfrac12 implies r=tfrac12cdottfrac32=tfrac34

Resposta

tfrac34

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