Alternadamente uma moeda é lançada e um dado é lançado, começando com a moeda. Qual é a probabilidade que a moeda registre uma "cara"antes que o dado registre um " 5 " ou " 6 "?
Passo 1
O problema pede a probabilidade de, em lançamentos alternados de uma moeda e de um dado (começando pela moeda), obter ‘cara’ na moeda antes de sair 5 ou 6 no dado. Vamos usar probabilidade condicional e séries geométricas para processos repetidos.
Passo 2
Primeiro, identificamos as probabilidades elementares: a moeda dá cara com probabilidade
, e o dado mostra 5 ou 6 com probabilidade
.
Passo 3
Definimos uma “rodada” completa como um lançamento da moeda seguido de um lançamento do dado. Numa rodada, há três cenários: (a) a moeda dá cara e ganhamos; (b) a moeda dá coroa e o dado sai 5 ou 6, e perdemos; © nenhum dos dois eventos ocorre e repetimos outra rodada.
Passo 4
A probabilidade de que nenhum evento decisivo ocorra numa rodada é a moeda dar coroa (
) e o dado não dar 5 nem 6 (
). Logo,
Passo 5
Seja
a probabilidade desejada. Pela decomposição em casos:
Passo 6
Substituindo
e
e resolvendo: