Sejam X1, X2, X3 v.a.'s INDEPENDENTES com variâncias finitas e positivas sigma1^2, sigma2^2, sigma3^2, respectivamente. Obtenha a correlação entre X1-X2 e X2+X3.

Passo 1

Primeiro, a gente tem as variáveis X1,X2,X3 independentes com variâncias sigma1^2,sigma2^2,sigma3^2. Queremos a correlação entre U=X1-X2 e V=X2+X3. Para isso, vamos usar a definição de correlação e propriedades de variância e covariância.

Passo 2

Calcular . Lembrando que é bilinear e que, por independência, se Cov(U,V). Então expandimos:
Pelos zeros de independência, só sobra .

Passo 3

Calcular as variâncias e . Para soma ou diferença de r.v.s independentes vale:

Passo 4

Aplicar a definição de correlação:
Esse é o valor procurado.

Resposta

rho(X1 - X2,,X2 + X3)= -sigma2^2raiz(sigma1^2+sigma2^2)(sigma2^2+sigma3^2)

Exercícios relacionados