Num jogo, dois jogadores lançam uma moeda honesta, um após o outro; o vencedor é o primeiro a obter cara. Qual é a probabilidade de que o jogador que lança a moeda pela
. vez seja o vencedor?
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que dois jogadores A e B lançam alternativamente uma moeda justa e ganha quem tirar cara primeiro. O conteúdo aqui é modelar a probabilidade de A vencer usando séries geométricas ou recursão, já que, depois de cada rodada em que ninguém tira cara, a situação ‘recomeça’ igual.
Passo 2
Para A vencer exatamente na sua n-ésima tentativa, é preciso que em cada uma das n−1 primeiras rodadas tanto A quanto B tirem coroa (probabilidade de cada rodada de dois lançamentos dar coroa–coroa é
) e então A tire cara no seu n-ésimo lançamento (probabilidade
). Logo a probabilidade desse evento é
Passo 3
A probabilidade total de A vencer é a soma desse termo para n de 1 até infinito, ou seja uma série geométrica com primeiro termo
e razão
:
Passo 4
Como
para
, com
temos:
Resposta
2/3