Num jogo, dois jogadores lançam uma moeda honesta, um após o outro; o vencedor é o primeiro a obter cara. Qual é a probabilidade de que o jogador que lança a moeda pela 1^ a . vez seja o vencedor?

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que dois jogadores A e B lançam alternativamente uma moeda justa e ganha quem tirar cara primeiro. O conteúdo aqui é modelar a probabilidade de A vencer usando séries geométricas ou recursão, já que, depois de cada rodada em que ninguém tira cara, a situação ‘recomeça’ igual.

Passo 2

Para A vencer exatamente na sua n-ésima tentativa, é preciso que em cada uma das n−1 primeiras rodadas tanto A quanto B tirem coroa (probabilidade de cada rodada de dois lançamentos dar coroa–coroa é (1/2)times(1/2)=1/4) e então A tire cara no seu n-ésimo lançamento (probabilidade 1/2). Logo a probabilidade desse evento é
l(1/4r)^n-1timestfrac12

Passo 3

A probabilidade total de A vencer é a soma desse termo para n de 1 até infinito, ou seja uma série geométrica com primeiro termo a=1/2 e razão r=1/4:
P(A)=sumn=1^inftyl(tfrac14r)^n-1cdottfrac12=tfrac12sumk=0^inftyl(tfrac14r)^k

Passo 4

Como sumk=0^inftyr^k=1/(1-r) para |r|<1, com r=1/4 temos:
P(A)=tfrac12cdot11-1/4=tfrac12cdot43=tfrac23

Resposta

2/3

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