Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=\frac{\ln \left(y^{2}-4 x\right)}{\sqrt[5]{2 x+3 y-1}} ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+3 y-1 \neq 0, y^{2}-4 x>0\right\}
\bigcirc b. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+3 y-1>0, y^{2}-4 x>0\right\}
\bigcirc c. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+3 y-1>0, y^{2}-4 x \neq 0\right\}
\bigcirc d. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y^{2}-4 x \neq 0\right\}
\bigcirc e. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+3 y-1>0\right\}
\bigcirc f. \quad \mathbb{R}^{2}
\bigcirc g. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x+3 y-1 \neq 0, y^{2}-4 x \neq 0\right\}
\bigcirc h. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid y^{2}-4 x>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede que identifiquemos o domínio da função
f(x,y)=\dfrac{\ln\!\left(y^{2}-4x\right)}{\sqrt[5]{2x+3y-1}}.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
  • A função tem um numerador que é \ln\!\left(y^{2}-4x\right).
  • A função tem um denominador que é \sqrt[5]{2x+3y-1}.
    A tarefa é escolher entre as alternativas fornecidas qual descreve corretamente o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 onde f está bem definida.

Passo 2

Entender a restrição vinda do logaritmo: \ln(t) está definida (no conjunto dos números reais) somente quando t>0.
Aqui t=y^{2}-4x. Portanto devemos ter obrigatoriamente
y^{2}-4x>0.
Explicando devagar: não serve y^{2}-4x=0 porque \ln(0) não existe; nem serve y^{2}-4x<0 porque \ln de número negativo também não existe no conjunto dos reais.

Passo 3

Reescrever a desigualdade do Passo 2 de forma mais intuitiva (opcional para visualizar a região):
y^{2}-4x>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x<y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x<\frac{y^{2}}{4}.
Isto significa que, em termos geométricos, os pontos válidos ficam estritamente à esquerda da parábola x=\dfrac{y^{2}}{4}.

Passo 4

Entender a restrição vinda do denominador: o denominador é \sqrt[5]{2x+3y-1}.
Duas observações importantes sobre raízes de índice ímpar e divisão:
  • A raiz quinta \sqrt[5]{\cdot} está definida para qualquer número real (positivos, zero e negativos); ou seja, não há restrição de sinal por aí. Por exemplo, \sqrt[5]{-32}=-2 é perfeitamente definido.
  • Porém, como esse valor aparece no denominador, não podemos ter denominação zero (divisão por zero é proibida). Logo precisamos excluir os pontos onde
\sqrt[5]{2x+3y-1}=0.
A raiz quinta é zero exatamente quando o radicando é zero, então a condição proibitiva é
2x+3y-1\neq 0.

Passo 5

Combinar as duas restrições: para que f(x,y) esteja bem definida devemos ter simultaneamente
y^{2}-4x>0 \qquad\text{e}\qquad 2x+3y-1\neq 0.
Não precisamos exigir que 2x+3y-1>0 (como em uma das alternativas), porque a raiz quinta aceita números negativos; basta apenas garantir que não seja igual a zero. Também não basta exigir apenas y^{2}-4x\neq0 (isso permitiria argumentos negativos do \ln), portanto a condição correta é a combinação acima.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas: a alternativa que expressa exatamente
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2x+3y-1\neq 0,\; y^{2}-4x>0\}
é a alternativa (a). As outras alternativas ou impõem restrições desnecessárias (como exigir 2x+3y-1>0) ou falham em garantir positividade do argumento do logaritmo.

Resposta

(a)

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