Qual das alternativas abaixo indica o domínio da função
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pede que identifiquemos o domínio da função
.
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
As informações relevantes dadas pelo enunciado são:
- A função tem um numerador que é
. - A função tem um denominador que é
.
A tarefa é escolher entre as alternativas fornecidas qual descreve corretamente o conjunto de pontosonde está bem definida.
Passo 2
Entender a restrição vinda do logaritmo:
está definida (no conjunto dos números reais) somente quando
.
Aqui . Portanto devemos ter obrigatoriamente
Aqui
Explicando devagar: não serve
porque
não existe; nem serve
porque
de número negativo também não existe no conjunto dos reais.
Passo 3
Reescrever a desigualdade do Passo 2 de forma mais intuitiva (opcional para visualizar a região):
Isto significa que, em termos geométricos, os pontos válidos ficam estritamente à esquerda da parábola
.
Passo 4
Entender a restrição vinda do denominador: o denominador é
.
Duas observações importantes sobre raízes de índice ímpar e divisão:
Duas observações importantes sobre raízes de índice ímpar e divisão:
- A raiz quinta
está definida para qualquer número real (positivos, zero e negativos); ou seja, não há restrição de sinal por aí. Por exemplo, é perfeitamente definido. - Porém, como esse valor aparece no denominador, não podemos ter denominação zero (divisão por zero é proibida). Logo precisamos excluir os pontos onde
A raiz quinta é zero exatamente quando o radicando é zero, então a condição proibitiva é
Passo 5
Combinar as duas restrições: para que
esteja bem definida devemos ter simultaneamente
Não precisamos exigir que
(como em uma das alternativas), porque a raiz quinta aceita números negativos; basta apenas garantir que não seja igual a zero. Também não basta exigir apenas
(isso permitiria argumentos negativos do
), portanto a condição correta é a combinação acima.
Passo 6
Comparando com as alternativas dadas: a alternativa que expressa exatamente
é a alternativa (a). As outras alternativas ou impõem restrições desnecessárias (como exigir
) ou falham em garantir positividade do argumento do logaritmo.
Resposta
(a)