QUESTÕES 05: Uma empresa distribuiu \mathrm{R} \ 12680,00$ entre três funcionários. A divisão foi feita em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço na empresa, e inversamente proporcionais ao número de faltas de cada funcionário durante o ano. Sabendo que o funcionário A tem 8 anos de empresa e 6 faltas; o funcionário B tem 5 anos de empresa e 4 faltas; e o C tem 6 anos de empresa e 8 faltas, quanto cada funcionário recebeu respectivamente? (peso-0,70)
A) \mathrm{R} \ 4072,00 ; \mathrm{R} $6755,00 ; \mathrm{R} $ 3853,00 . B) \(\mathrm{R} \\) 5072,00 ; \mathrm{R} \$4755,00 ; \mathrm{R} \$ 2853,00.
C) \mathrm{R} \ 3072,00 ; \mathrm{R} $8755,00 ; \mathrm{R} $ 4853,00 . D) \(\mathrm{R} \\) 1072,00 ; \mathrm{R} \$7755,00 ; \mathrm{R} \$ 9853,00.
Valor do prêmio Tempo de serviço (diretamente proporcional) Número de faltas (inversamente proporcional)
A 8 6
B 5 4
C 6 8

Passo 1

O enunciado pede quanto cada funcionário recebeu, em ordem respectiva A, B e C, ao dividir o total de \mathrm{R} \$ 12680{,}00 segundo uma regra: a parte é diretamente proporcional ao tempo de serviço e inversamente proporcional ao número de faltas. Dados fornecidos:

Tempo de serviço e faltas:

A: tempo =8 anos, faltas =6.

B: tempo =5 anos, faltas =4.

C: tempo =6 anos, faltas =8.

Passo 2

Entendendo a regra de proporcionalidade (aula curta e prática):
Se a parte de cada funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço t e inversamente proporcional ao número de faltas f, isso significa que a parte é proporcional a
\frac{t}{f}.
Aqui t é o tempo de serviço (anos) e f é o número de faltas. A razão: "diretamente proporcional a t" quer dizer que, mantendo f fixo, dobrar t dobra a parte; "inversamente proporcional a f" quer dizer que, mantendo t fixo, dobrar f corta a parte pela metade. Combina-se multiplicando por t e por 1/f, resultando em t/f. Para transformar isso em quantias numéricas, primeiro calculamos um “peso” para cada funcionário:
\text{peso}_i = \frac{t_i}{f_i}.
Depois dividimos o total proporcionalmente aos pesos (cada quantia é o total vezes o peso do funcionário dividido pela soma dos pesos).

Passo 3

Calcule os pesos de cada funcionário:
\text{peso}_A=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}, \qquad \text{peso}_B=\frac{5}{4}, \qquad \text{peso}_C=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}.
Expliquei: simplifiquei \tfrac{8}{6} para \tfrac{4}{3} dividindo numerador e denominador por 2; e \tfrac{6}{8} para \tfrac{3}{4}.

Passo 4

Somamos os pesos para normalizar:
\text{soma dos pesos}=\frac{4}{3}+\frac{5}{4}+\frac{3}{4}.
Colocando em denominador comum 12:
\frac{4}{3}=\frac{16}{12},\quad \frac{5}{4}=\frac{15}{12},\quad \frac{3}{4}=\frac{9}{12},
logo
\text{soma dos pesos}=\frac{16}{12}+\frac{15}{12}+\frac{9}{12}=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}.

Passo 5

Agora cada fração da quantia total é o peso do funcionário dividido pela soma dos pesos. Calculamos essas frações e as simplificamos:
\text{fração}_A=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5},çã
\text{fração}_B=\frac{\frac{5}{4}}{\frac{10}{3}}=\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{10}=\frac{15}{40}=\frac{3}{8},çã
\text{fração}_C=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{10}{3}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{10}=\frac{9}{40}.çã
Comentário: sempre que dividimos frações, multiplicamos pelo inverso; por exemplo \tfrac{a}{b}\div\tfrac{c}{d}=\tfrac{a}{b}\cdot\tfrac{d}{c}.

Passo 6

Multiplicamos cada fração pelo total \mathrm{R} \$ 12680{,}00 para obter as quantias:
\text{quantia}_A=\frac{2}{5}\cdot 12680=\left(\frac{12680}{5}\right)\cdot 2=2536\cdot 2=5072,
portanto \mathrm{R} \$ 5072{,}00.
\text{quantia}_B=\frac{3}{8}\cdot 12680=\left(\frac{12680}{8}\right)\cdot 3=1585\cdot 3=4755,
portanto \mathrm{R} \$ 4755{,}00.
\text{quantia}_C=\frac{9}{40}\cdot 12680=\left(\frac{12680}{40}\right)\cdot 9=317\cdot 9=2853,
portanto \mathrm{R} \$ 2853{,}00.

Passo 7

Verificação rápida (cheque que a soma dá o total):
5072+4755+2853=12680,
logo a divisão está consistente. Ótimo — fizemos as contas direitinho.

Resposta

\mathrm{R} \$ 5072{,}00
\mathrm{R} \$ 4755{,}00
\mathrm{R} \$ 2853{,}00

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