QUESTÕES 05: Uma empresa distribuiu
12680,00$ entre três funcionários. A divisão foi feita em partes diretamente proporcionais ao tempo de serviço na empresa, e inversamente proporcionais ao número de faltas de cada funcionário durante o ano. Sabendo que o funcionário A tem 8 anos de empresa e 6 faltas; o funcionário B tem 5 anos de empresa e 4 faltas; e o C tem 6 anos de empresa e 8 faltas, quanto cada funcionário recebeu respectivamente? (peso-0,70)
A)
4072,00 ; \mathrm{R} $6755,00 ; \mathrm{R} $ 3853,00
.
C)
3072,00 ; \mathrm{R} $8755,00 ; \mathrm{R} $ 4853,00
.
Valor do prêmio
Tempo de serviço (diretamente proporcional)
Número de faltas (inversamente proporcional)
A
8
6
B
5
4
C
6
8
A)
C)
| Valor do prêmio | Tempo de serviço (diretamente proporcional) | Número de faltas (inversamente proporcional) |
| A | 8 | 6 |
| B | 5 | 4 |
| C | 6 | 8 |
Passo 1
O enunciado pede quanto cada funcionário recebeu, em ordem respectiva A, B e C, ao dividir o total de
segundo uma regra: a parte é diretamente proporcional ao tempo de serviço e inversamente proporcional ao número de faltas. Dados fornecidos:
Tempo de serviço e faltas:
A: tempo anos, faltas
.
B: tempo anos, faltas
.
C: tempo anos, faltas
.
Tempo de serviço e faltas:
A: tempo
B: tempo
C: tempo
Passo 2
Entendendo a regra de proporcionalidade (aula curta e prática):
Se a parte de cada funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço e inversamente proporcional ao número de faltas
, isso significa que a parte é proporcional a
Se a parte de cada funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço
Aqui
é o tempo de serviço (anos) e
é o número de faltas. A razão: "diretamente proporcional a
" quer dizer que, mantendo
fixo, dobrar
dobra a parte; "inversamente proporcional a
" quer dizer que, mantendo
fixo, dobrar
corta a parte pela metade. Combina-se multiplicando por
e por
, resultando em
. Para transformar isso em quantias numéricas, primeiro calculamos um “peso” para cada funcionário:
Depois dividimos o total proporcionalmente aos pesos (cada quantia é o total vezes o peso do funcionário dividido pela soma dos pesos).
Passo 3
Calcule os pesos de cada funcionário:
Expliquei: simplifiquei
para
dividindo numerador e denominador por
; e
para
.
Passo 4
Somamos os pesos para normalizar:
Colocando em denominador comum
:
logo
Passo 5
Agora cada fração da quantia total é o peso do funcionário dividido pela soma dos pesos. Calculamos essas frações e as simplificamos:
Comentário: sempre que dividimos frações, multiplicamos pelo inverso; por exemplo
.
Passo 6
Multiplicamos cada fração pelo total
para obter as quantias:
portanto
.
portanto
.
portanto
.
Passo 7
Verificação rápida (cheque que a soma dá o total):
logo a divisão está consistente. Ótimo — fizemos as contas direitinho.