(a) Quais das alternativas (mais de uma é possível, você deve marcar todas verdadeiras) apresentam o mínimo de elementos necessários para a determinação de uma única parábola?
(A) O foco e o vértice da parábola;
(B) A diretriz e o vértice da parábola;
(C) A diretriz e o foco da parábola;
(D) Dois pontos distintos pertencentes a parábola;
(E) Três pontos distintos pertencentes a parábola;
(b) Qual a equação geral padrão em coordenadas cartesianas da cônica cujas equações paramétricas são dadas por
x=t+1 e y=2 t^2+4 t+4 ; t in R

Passo 1

Resumo do enunciado:
– Item (a) pede quais coleções de elementos (de A a E) fornecem informação suficiente e independente para determinar uma única parábola no plano. Mais de uma alternativa pode ser verdadeira.
– Item (b) dá a parametrização
x = t + 1, y = 2t^2 + 4t + 4, tinR,
e pede a equação geral-cartesiana dessa cônica, que sabemos ser uma parábola.

Passo 2

Teoria de fundo:
Uma parábola é uma cônica com discriminante b^2-ac=0 na forma geral
ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey + f = 0,
que tem 5 coeficientes livres (a,b,c,d,e,f) menos 1 escala comum, totalizando 4 graus de liberdade ( 4 GL). Assim, para determinar uma parábola precisamos de 4 condições independentes.

Passo 3

Alternativa (A): foco e vértice.
– O foco é um ponto l(xF,yFr) ( 2 GL)
– O vértice é um ponto l(xV,yVr) ( 2 GL)
Total: 2+2=4 condições independentes Rightarrow suficiente.

Passo 4

Alternativa (B): diretriz e vértice.
– A diretriz é uma reta Ax+By+C=0, que até escala representa 2 GL
– O vértice é um ponto l(xV,yVr) ( 2 GL)
Total: 2+2=4 condições Rightarrow suficiente.

Passo 5

Alternativa (C): diretriz e foco.
– A diretriz ( 2 GL)
– O foco ( 2 GL)
Total: 2+2=4 condições Rightarrow suficiente, pois a definição ``pontos equidistantes de foco e diretriz'' surge imediatamente.

Passo 6

Alternativa (D): dois pontos distintos pertencentes à parábola.
Cada ponto impõe apenas 1 equação na forma geral, totalizando 2 condições. Como precisamos de 4 GL, não é suficiente.

Passo 7

Alternativa (E): três pontos distintos pertencentes à parábola.
Cada ponto dá 1 condição, somando 3 condições. Ainda falta 1 para fixar totalmente os 4 GL. Logo, não é suficiente.

Passo 8

Resolução do item (b):
Da parametrização temos
x = t + 1 Longrightarrow t = x - 1
Substituindo em y:
y = 2t^2 + 4t + 4 = 2(x-1)^2 + 4(x-1) + 4
Desenvolvendo:
2(x-1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2, 4(x-1) = 4x - 4,
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y = l(2x^2 - 4x + 2r) + l(4x - 4r) + 4 = 2x^2 + ( -4x + 4x ) + (2 -4 +4) = 2x^2 + 2
Passando tudo para um lado, a equação geral-cartesiana é
2x^2 - y + 2 = 0

Resposta

(a) A, B e C.
(b) 2x^2 - y + 2 = 0.

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