(a) Quais das alternativas (mais de uma é possível, você deve marcar todas verdadeiras) apresentam o mínimo de elementos necessários para a determinação de uma única parábola?
(A)
foco e o vértice da parábola;
(B) A diretriz e o vértice da parábola;
(C) A diretriz e o foco da parábola;
(D) Dois pontos distintos pertencentes a parábola;
(E) Três pontos distintos pertencentes a parábola;
(b) Qual a equação geral padrão em coordenadas cartesianas da cônica cujas equações paramétricas são dadas por
(A)
(B) A diretriz e o vértice da parábola;
(C) A diretriz e o foco da parábola;
(D) Dois pontos distintos pertencentes a parábola;
(E) Três pontos distintos pertencentes a parábola;
(b) Qual a equação geral padrão em coordenadas cartesianas da cônica cujas equações paramétricas são dadas por
Passo 1
Resumo do enunciado:
– Item (a) pede quais coleções de elementos (de A a E) fornecem informação suficiente e independente para determinar uma única parábola no plano. Mais de uma alternativa pode ser verdadeira.
– Item (b) dá a parametrização
– Item (a) pede quais coleções de elementos (de A a E) fornecem informação suficiente e independente para determinar uma única parábola no plano. Mais de uma alternativa pode ser verdadeira.
– Item (b) dá a parametrização
e pede a equação geral-cartesiana dessa cônica, que sabemos ser uma parábola.
Passo 2
Teoria de fundo:
Uma parábola é uma cônica com discriminante na forma geral
Uma parábola é uma cônica com discriminante
que tem
coeficientes livres
menos
escala comum, totalizando
graus de liberdade (
GL). Assim, para determinar uma parábola precisamos de
condições independentes.
Passo 3
Alternativa (A): foco e vértice.
– O foco é um ponto (
GL)
– O vértice é um ponto (
GL)
Total: condições independentes
suficiente.
– O foco é um ponto
– O vértice é um ponto
Total:
Passo 4
Alternativa (B): diretriz e vértice.
– A diretriz é uma reta , que até escala representa
GL
– O vértice é um ponto (
GL)
Total: condições
suficiente.
– A diretriz é uma reta
– O vértice é um ponto
Total:
Passo 5
Alternativa (C): diretriz e foco.
– A diretriz ( GL)
– O foco ( GL)
Total: condições
suficiente, pois a definição
surge imediatamente.
– A diretriz (
– O foco (
Total:
Passo 6
Alternativa (D): dois pontos distintos pertencentes à parábola.
Cada ponto impõe apenas equação na forma geral, totalizando
condições. Como precisamos de
GL, não é suficiente.
Cada ponto impõe apenas
Passo 7
Alternativa (E): três pontos distintos pertencentes à parábola.
Cada ponto dá condição, somando
condições. Ainda falta
para fixar totalmente os
GL. Logo, não é suficiente.
Cada ponto dá
Passo 8
Resolução do item (b):
Da parametrização temos
Da parametrização temos
Substituindo em
:
Desenvolvendo:
logo
Passando tudo para um lado, a equação geral-cartesiana é
Resposta
(a) A, B e C.
(b) .
(b)