Considere a cônica cujas equações paramétricas são dadas por
x=2 sen(t) e y=4 cos (t), t in R
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=2sin(t), y=4cos(t),
para tinR. O conteúdo é estudo de cônicas via eliminação de parâmetro e identificação de focos.

Passo 2

Expressamos sin(t) e cos(t) em função de x e y:
sin(t)=x2, cos(t)=y4
Usando sin^2(t)+cos^2(t)=1, obtemos a equação cartesiana.

Passo 3

Substituindo na identidade trigonométrica:
l(x2r)^2+l(y4r)^2=1
Isso é a equação de uma elipse centrada em (0,0), com semi-eixo horizontal b=2 e semi-eixo vertical a=4.

Passo 4

Em uma elipse com semi-eixos a e b ( a>b), os focos estão no eixo maior a uma distância
c=raiza^2-b^2
do centro. Aqui
c=raiz4^2-2^2=raiz16-4=raiz12=2raiz3
Como o eixo maior é vertical, os focos são
(0,,2raiz3) e (0,,-2raiz3)

Resposta

(a) É uma elipse de equação
x^22^2+y^24^2=1
(b) Os focos são (0,2raiz3) e (0,-2raiz3).

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