Considere a hipérbole de focos
e
. Sabendo que
distância entre os vértices desta hipérbole é 4:
(a) Determine os vértices da hipérbole.
(b) Após escrever a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas
na forma
qual o valor encontrado para o coeficiente F?
(a) Determine os vértices da hipérbole.
(b) Após escrever a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas
Passo 1
O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são
e informa que a distância entre os vértices é
. Precisamos achar (a) os vértices e (b) ao escrever a equação geral
determinar o valor de
. Vamos usar a definição de hipérbole em coordenadas rotacionadas.
Passo 2
O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos, ou seja
. A distância entre vértices é
, logo
Passo 3
Os focos estão sobre a reta
. Para alinhar o eixo transverso nessa direção, definimos as coordenadas rotacionadas
Em
os focos ficam em
portanto
.
Passo 4
Na hipérbole vale
então
Passo 5
Os vértices em
são
. Voltando a
, para
temos
e para
obtemos
. Logo os vértices são
Passo 6
A equação canônica em
é
Substituindo
e
:
Passo 7
Multiplicando por
e expandindo:
Comparando com
, vemos que
Resposta
(a) Os vértices são
e
.
(b) .
(b)