Considere a hipérbole de focos (2 raiz2, 2 raiz2) e (-2 raiz2,-2 raiz2). Sabendo que a distância entre os vértices desta hipérbole é 4:
(a) Determine os vértices da hipérbole.
(b) Após escrever a equação cartesiana desta cônica em coordenadas cartesianas (x, y) na forma
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
qual o valor encontrado para o coeficiente F?

Passo 1

O enunciado dá uma hipérbole cujos focos são
(2raiz2,2raiz2)e(-2raiz2,-2raiz2)
e informa que a distância entre os vértices é 4. Precisamos achar (a) os vértices e (b) ao escrever a equação geral
A x^2+B x y+C y^2+D x+E y+F=0
determinar o valor de F. Vamos usar a definição de hipérbole em coordenadas rotacionadas.

Passo 2

O centro da hipérbole é o ponto médio dos focos, ou seja (0,0). A distância entre vértices é 2a=4, logo
a=2

Passo 3

Os focos estão sobre a reta y=x. Para alinhar o eixo transverso nessa direção, definimos as coordenadas rotacionadas
x'=x+yraiz2, y'=x-yraiz2
Em (x',y') os focos ficam em
l(tfrac2raiz2+2raiz2raiz2,0r)=(4,0)e(-4,0),
portanto c=4.

Passo 4

Na hipérbole vale
c^2=a^2+b^2,
então
b^2=c^2-a^2=16-4=12

Passo 5

Os vértices em (x',y') são (pm a,0)=(pm2,0). Voltando a (x,y), para x'=2,y'=0 temos
x=x'+y'raiz2=2raiz2=raiz2, y=x'-y'raiz2=2raiz2=raiz2,
e para x'=-2,y'=0 obtemos (-,raiz2,-,raiz2). Logo os vértices são
(raiz2,raiz2)e(-raiz2,-raiz2)

Passo 6

A equação canônica em (x',y') é
x'^2a^2-y'^2b^2=1 Longrightarrow x'^24-y'^212=1
Substituindo x'=x+yraiz2 e y'=x-yraiz2:
l(x+yraiz2r)^24 -l(x-yraiz2r)^212 =1 Longrightarrow (x+y)^28-(x-y)^224=1

Passo 7

Multiplicando por 24 e expandindo:
3(x+y)^2-(x-y)^2=24 Longrightarrow 3(x^2+2xy+y^2)-(x^2-2xy+y^2)=24
Longrightarrow 2x^2+8xy+2y^2=24 Longrightarrow x^2+4xy+y^2=12 Longrightarrow x^2+4xy+y^2-12=0
Comparando com Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0, vemos que
F=-12

Resposta

(a) Os vértices são (raiz2,raiz2) e (-raiz2,-raiz2).
(b) F=-12.

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