Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares (theta, r) é dada por
r=21-3 cos (theta)
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
r = 21 - 3cos(theta)
e pergunta (a) que tipo de cônica é (elipse, parábola, hipérbole, ponto ou duas retas) e (b) quais são os focos.
Para isso vamos usar a forma padrão de cônicas em polares, que é
r = e,d1 + ecos(theta),
onde e é a excentricidade e d a distância do foco à reta-diretriz.

Passo 2

Reescrevendo
r = 21 - 3cos(theta) = 21 + (-3)cos(theta),
vemos que a comparação com
,1 + ecos(theta), leva a
e = |-3| = 3,
e como e,d = 2 temos
d = 2e = 23

Passo 3

Classificação da cônica:
  • Se e<1 é elipse,
  • se e=1 é parábola,
  • se e>1 é hipérbole.
    Aqui e=3>1, logo é uma hipérbole.

Passo 4

Vamos achar os focos em coordenadas cartesianas. Chamemos o foco usado na equação polar de F1, que é o polo (0,0).
  1. O semilatus rectum (semieixo transversal na hipérbole) é
p = e,d = 2
  1. Para hipérbole vale
p = a,(e^2 - 1),
onde a é o semi-eixo real. Logo
a = pe^2 - 1 = 23^2 - 1 = 28 = tfrac14
  1. A distância focal c satisfaz
c = e,a = 3 cdot tfrac14 = tfrac34
  1. O centro C da hipérbole está no eixo x, a meio caminho entre os dois focos. Como um foco é F1=(0,0) e a distância até o centro é c, o centro é
C = (-c,,0) = l(-tfrac34,,0r)
  1. O segundo foco F2 fica do outro lado do centro à distância c, logo
F2 = l(-tfrac34 - tfrac34,,0r) = l(-tfrac32,,0r)

Resposta

(a) É uma hipérbole (excentricidade e=3>1).
(b) Os focos são
F1 = (0,0) e F2 = l(-tfrac32,,0r)

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