Considere a cônica cuja equação em coordenadas polares
é dada por
(a) Identifique a cônica (diga se é elipse, parábola, hipérbole, um ponto ou duas retas);
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
(b) Determine o (os) foco (focos) desta cônica.
Passo 1
O enunciado dá a cônica em coordenadas polares
e pergunta (a) que tipo de cônica é (elipse, parábola, hipérbole, ponto ou duas retas) e (b) quais são os focos.
Para isso vamos usar a forma padrão de cônicas em polares, que é
Para isso vamos usar a forma padrão de cônicas em polares, que é
onde
é a excentricidade e
a distância do foco à reta-diretriz.
Passo 2
Reescrevendo
vemos que a comparação com
leva a
e como
temos
Passo 3
Classificação da cônica:
- Se
é elipse, - se
é parábola, - se
é hipérbole.
Aqui, logo é uma hipérbole.
Passo 4
Vamos achar os focos em coordenadas cartesianas. Chamemos o foco usado na equação polar de
, que é o polo
.
- O semilatus rectum (semieixo transversal na hipérbole) é
- Para hipérbole vale
onde
é o semi-eixo real. Logo
- A distância focal
satisfaz
- O centro
da hipérbole está no eixo , a meio caminho entre os dois focos. Como um foco é e a distância até o centro é , o centro é
- O segundo foco
fica do outro lado do centro à distância , logo
Resposta
(a) É uma hipérbole (excentricidade
).
(b) Os focos são
(b) Os focos são