Qual das alternativas representa corretamente todos os valores de \log (1+i) ?
Escolha uma opção: \ln 2+i\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right) \quad k \in \mathbb{Z} \frac{1}{2}+i\left(\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z} \ln \sqrt{2}+i\left(\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}
Passo 1
O enunciado pede os valores de \log(1+i), isto é, o logaritmo complexo de 1+i. Para resolver, precisamos lembrar que, para z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},
\log z = \ln\bigl|z\bigr| + i\,\Arg(z)
e que a parte imaginária admite todos os ramos \Arg(z)=\arg(z)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.
Passo 2
Calculamos o módulo de 1+i:
\bigl|1+i\bigr|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo a parte real de \log(1+i) é
\ln\bigl|1+i\bigr|=\ln\sqrt{2}.
Passo 3
Encontramos o argumento principal de 1+i. No plano complexo, o ponto (1,1) forma um ângulo de