Qual das alternativas representa corretamente todos os valores de \log (1+i) ?
Escolha uma opção:
\ln 2+i\left(\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right) \quad k \in \mathbb{Z}
\frac{1}{2}+i\left(\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}
\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{\pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}
\ln \sqrt{2}+i\left(\frac{3 \pi}{4}+2 k \pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede os valores de \log(1+i), isto é, o logaritmo complexo de 1+i. Para resolver, precisamos lembrar que, para z\in\mathbb{C}\setminus\{0\},
\log z = \ln\bigl|z\bigr| + i\,\Arg(z)
e que a parte imaginária admite todos os ramos \Arg(z)=\arg(z)+2k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Calculamos o módulo de 1+i:
\bigl|1+i\bigr|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Logo a parte real de \log(1+i) é
\ln\bigl|1+i\bigr|=\ln\sqrt{2}.

Passo 3

Encontramos o argumento principal de 1+i. No plano complexo, o ponto (1,1) forma um ângulo de
\arg(1+i)=\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{1}\bigr)=\frac{\pi}{4}.
Incluir todos os ramos implica
\Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Juntando parte real e parte imaginária, obtemos
\log(1+i)=\ln\sqrt{2}+i\Bigl(\frac{\pi}{4}+2k\pi\Bigr), \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\ln \sqrt{2}+i\Bigl(\tfrac{\pi}{4}+2k\pi\Bigr),\quad k\in\mathbb{Z}

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