Usando o método de Laplace, resolva as equações integrais:
(b) y(t)=3+\int_{0}^{t} e^{2 \tau} y(t-\tau) d \tau.

Passo 1

O enunciado dá a equação integral
y(t)=3+\int_{0}^{t}e^{2\tau}\,y(t-\tau)\,d\tau
e pede para resolver usando transformada de Laplace. Precisamos usar a propriedade de convolução e tabelas de transformada.

Passo 2

Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados e lembrando que \mathcal{L}\{e^{2t}*y(t)\}=\mathcal{L}\{e^{2t}\}\,\mathcal{L}\{y(t)\}, obtemos
Y(s)=\frac{3}{s}+\frac{1}{s-2}\,Y(s).

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s)\Bigl(1-\frac{1}{s-2}\Bigr)=\frac{3}{s} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{3}{s}\,\frac{s-2}{s-3} =\frac{3(s-2)}{s\,(s-3)}.

Passo 4

Fazendo frações parciais:
\frac{3(s-2)}{s(s-3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3},
com 3(s-2)=A(s-3)+Bs. Da comparação de coeficientes vem A=2 e B=1, logo
Y(s)=\frac{2}{s}+\frac{1}{s-3}.

Passo 5

Invertendo a transformada de Laplace, temos
y(t)=2+e^{3t}.

Resposta

y(t)=2+e^{3t}.

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