Qual das seguintes funções possui um polo simples em z=0 ?
Escolha uma opção:
f(z)=\frac{1}{z}
f(z)=e^{z}
f(z)=\frac{1}{z^{2}}
f(z)=\frac{\operatorname{sen} z}{z}

Passo 1

O enunciado apresenta quatro funções e pede qual delas tem um polo simples em z=0. O conteúdo envolvido é análise de singularidades isoladas no plano complexo, mais especificamente identificação de polos e sua ordem.

Passo 2

Uma função meromorfa f tem um polo de ordem m em z=0 se, na expansão de Laurent em torno de 0,
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\,z^n,
o primeiro termo não nulo com potência negativa for a_{-m}z^{-m}. Se m=1, dizemos que é um polo simples.

Passo 3

Para f(z)=\frac{1}{z} a expansão de Laurent em torno de zero é
\frac{1}{z},
ou seja, há apenas o termo a_{-1}z^{-1} com a_{-1}=1. Logo é um polo de ordem 1, isto é, um polo simples.

Passo 4

Para f(z)=e^{z} sabemos que e^{z} é inteira (analítica em todo o plano) e sua expansão de Taylor em torno de zero não tem termos negativos:
e^z=1+z+\tfrac{z^2}{2!}+\cdots.
Portanto não há polo em z=0.

Passo 5

Para f(z)=\frac{1}{z^2} a expansão de Laurent é
\frac{1}{z^2},
que corresponde a a_{-2}z^{-2} com a_{-2}=1. Isso é um polo de ordem 2 (polo duplo), não simples.

Passo 6

Para f(z)=\frac{\sin z}{z} usamos a expansão de Taylor de \sin z,
\sin z = z - \frac{z^3}{6} + \frac{z^5}{120} - \cdots,
dividindo por z obtemos
\frac{\sin z}{z}=1 - \frac{z^2}{6} + \frac{z^4}{120} - \cdots,
ou seja, não há termos negativos em z, apenas um valor finito em z=0 (singularidade removível).

Passo 7

Das quatro funções, apenas \frac{1}{z} apresenta termo a_{-1}z^{-1} sem termos de ordem mais negativa, caracterizando um polo simples em z=0.

Resposta

A função \displaystyle f(z)=\frac{1}{z} possui um polo simples em z=0.

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