Qual das seguintes funções possui um polo simples em
?
Escolha uma opção:
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Passo 1
O enunciado apresenta quatro funções e pede qual delas tem um polo simples em
. O conteúdo envolvido é análise de singularidades isoladas no plano complexo, mais especificamente identificação de polos e sua ordem.
Passo 2
Uma função meromorfa
tem um polo de ordem
em
se, na expansão de Laurent em torno de
,
o primeiro termo não nulo com potência negativa for
. Se
, dizemos que é um polo simples.
Passo 3
Para
a expansão de Laurent em torno de zero é
ou seja, há apenas o termo
com
. Logo é um polo de ordem
, isto é, um polo simples.
Passo 4
Para
sabemos que
é inteira (analítica em todo o plano) e sua expansão de Taylor em torno de zero não tem termos negativos:
Portanto não há polo em
.
Passo 5
Para
a expansão de Laurent é
que corresponde a
com
. Isso é um polo de ordem
(polo duplo), não simples.
Passo 6
Para
usamos a expansão de Taylor de
,
dividindo por
obtemos
ou seja, não há termos negativos em
, apenas um valor finito em
(singularidade removível).
Passo 7
Das quatro funções, apenas
apresenta termo
sem termos de ordem mais negativa, caracterizando um polo simples em
.
Resposta
A função
possui um polo simples em
.