Usando o teorema da convolução, obtenha:
(b) \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada inversa de Laplace
\frac{1}{s^{2}\,(s^{2}+1)}
usando o teorema da convolução. Vamos precisar lembrar que, se
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} \quad\text{e}\quad G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\},
então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\} =(f*g)(t) =\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 2

Separamos
\frac{1}{s^{2}\,(s^{2}+1)} =\frac{1}{s^{2}}\;\cdot\;\frac{1}{s^{2}+1}.
Reconhecemos
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}}\Bigr\}=t, \quad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}+1}\Bigr\}=\sin t.
Logo f(t)=t e g(t)=\sin t.

Passo 3

Pelo teorema da convolução,
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}\Bigr\} =(f*g)(t) =\int_{0}^{t}\tau\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Para calcular
I=\int_{0}^{t}\tau\,\sin(t-\tau)\,d\tau
fazemos a troca de variável x=t-\tau, de modo que \tau=t-x e d\tau=-dx. Os limites vão de x=t a x=0, resultando em
I=\int_{0}^{t}(t-x)\,\sin x\,dx =t\int_{0}^{t}\sin x\,dx-\int_{0}^{t}x\sin x\,dx.
Sabemos que
\int_{0}^{t}\sin x\,dx =1-\cos t,
e, por integração por partes em \int_{0}^{t}x\sin x\,dx, temos
\int_{0}^{t}x\sin x\,dx =\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_{0}^{t} =-t\cos t+\sin t.
Substituindo de volta,
I =t(1-\cos t)-\bigl(-t\cos t+\sin t\bigr) =t - t\cos t + t\cos t - \sin t =t-\sin t.

Passo 5

Portanto, concluímos que
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\frac{1}{s^{2}(s^{2}+1)}\Bigr\} =t-\sin t.

Resposta

t - \sin t

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