Usando o método de Laplace, resolva as equações integrais:
(a) y(t)=3 t+\int_{0}^{t} y(\tau) \operatorname{sen}(t-\tau) d \tau,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação integral
y(t)=3t+\int_{0}^{t}y(\tau)\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau
usando o método de Laplace. O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace de uma convolução, que satisfaz
\mathcal{L}\bigl\{(f*g)(t)\bigr\}=F(s)\,G(s).
Vamos chamar \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s) e usar que \mathcal{L}\{\sin t\}=1/(s^2+1).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtemos
Y(s) =\mathcal{L}\{3t\} +\mathcal{L}\Bigl\{\int_{0}^{t}y(\tau)\,\sin(t-\tau)\,d\tau\Bigr\}.
Sabemos que \mathcal{L}\{3t\}=3/s^2 e que a convolução vira produto de transformadas, logo
Y(s)=\frac{3}{s^2}+Y(s)\,\frac{1}{s^2+1}.

Passo 3

Isolamos Y(s). Primeiro escrevemos
Y(s)\Bigl(1-\frac{1}{s^2+1}\Bigr)=\frac{3}{s^2}.
Como
1-\frac{1}{s^2+1}=\frac{s^2+1-1}{s^2+1}=\frac{s^2}{s^2+1},
segue
Y(s)\,\frac{s^2}{s^2+1}=\frac{3}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{3}{s^2}\,\frac{s^2+1}{s^2} =3\,\frac{s^2+1}{s^4}.

Passo 4

Agora fazemos a transformada inversa. Escrevemos
Y(s)=3\biggl(\frac{s^2}{s^4}+\frac{1}{s^4}\biggr) =3\biggl(\frac{1}{s^2}+\frac{1}{s^4}\biggr).
Como \mathcal{L}^{-1}\{1/s^2\}=t e \mathcal{L}^{-1}\{1/s^4\}=t^3/6, temos
y(t) =3\Bigl(t + \frac{t^3}{6}\Bigr) =3t+\frac{t^3}{2}.

Resposta

y(t)=3t+\frac{t^3}{2}.

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