Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = -(x - 1) / (y(y + 1)(y - 2)) y(1 + raiz(31 / 6)) = 1
Observação: raiz(31 / 6) aproximadamente 2.3,5 raiz(3) / 3 aproximadamente 2.9, raiz(3) aproximadamente 1.7, raiz(23 / 6) aproximadamente 2.0.
squared(1 + raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
d (1 + raiz(23 / 6), 1 + 5 * raiz(3) / 3).
b (1 - 5 raiz(3)/3, 1 + 5 raiz(3)/3).
e (1 - raiz(3), +infinito).
c (1 - raiz(3), 1 + 5 * (raiz(3) / 3)).
f (1 + raiz(3), +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar o intervalo de validade da solução desse problema. Para isso, vamos precisar separar as variáveis, integrar e analisar onde nossa solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial que nos foi dada:
E o valor inicial fornecido é:
Isso significa que quando , .

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos separar as variáveis e . Isso significa rearranjar a equação para que todos os termos envolvendo fiquem de um lado e os termos envolvendo fiquem do outro lado:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular as integrais:
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Podemos combinar as constantes de integração em um único , então temos:

Passo 6

Agora, vamos usar o valor inicial para encontrar a constante . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Calculando o lado esquerdo:
Do lado direito, vamos simplificar:
Para simplificar, após os cálculos, encontramos . Então, a equação geral da solução é:

Passo 7

Para encontrar o intervalo de validade, precisamos analisar onde a solução está definida. Observamos os termos no denominador da EDO original:
Esses termos indicam que a solução não é válida quando , ou porque esses valores tornam o denominador zero, o que não é permitido (indefinido).
Além disso, a existência e unicidade da solução dependem da aplicação do Teorema de Picard-Lindelöf, que exige que a função seja contínua e tenha derivada contínua no intervalo considerado. Portanto, devemos evitar esses pontos onde a função não é definida.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é válida no intervalo . Portanto, a alternativa correta é a c.

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