Considere a solução do problema de valor inicial
l d yd t=-y(y+a)(y^2-a^2), para a>10^4 y(t0)=y0
Podemos afirmar que:
square Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
b Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a ou y0>a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
c Se y0<0, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.
d Se-a, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
e Se -a, então a solução se aproxima de -a, quando t +infty. Se 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t +infty. Se y0>a, então a solução se aproxima de a, quando t +infty. Se y0<-a, então |y(t)| +infty, quando t cresce.
f Se y0<0, então |y(t)| +infty, quando t cresce. Se y0>0, então a solução se aproxima de a, quando t +infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
l dydt = -y(y + a)(y^2 - a^2), para a > 10^4 y(t0) = y0
Aqui, queremos descobrir para quais valores de a solução se comporta de determinada maneira quando tende ao infinito. Vamos precisar entender os pontos de equilíbrio e analisar o comportamento da solução em torno desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de -y(y + a)(y^2 - a^2) = 0 para os quais . Igualando a equação a zero:
Isso acontece quando:
  1. ou
Então, nossos pontos de equilíbrio são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da solução em cada intervalo determinado por esses pontos de equilíbrio. Vamos dividir a linha dos números reais em regiões e verificar o sinal de dydt = -(negativo)(negativo)(positivo) = -(positivo) = negativo em cada uma delas:
  1. Para dydt = -(negativo)(positivo)(negativo) = -(positivo) = negativo :
    • dydt = -(positivo)(positivo)(negativo) = -(negativo) = positivo é negativo.
    • dydt = -(positivo)(positivo)(positivo) = -(positivo) = negativo é negativo.
    • é positivo.
    Então:
    Isso significa que está diminuindo.
  2. Para :
    • é negativo.
    • é positivo (porque ).
    • é negativo (pois ).
    Então:
    Novamente, está diminuindo.
  3. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é negativo.
    Então:
    Agora, está aumentando.
  4. Para :
    • é positivo.
    • é positivo.
    • é positivo.
    Então:
    Aqui, está diminuindo.

Passo 4

Vamos resumir o que descobrimos:
  • : É um ponto estável porque as soluções próximas a tendem a se aproximar de quando vai para o infinito.
  • : É um ponto instável. Se você começa um pouco acima de 0, aumenta; se começa abaixo, diminui.
  • : Não é um ponto estável. As soluções não tendem a se aproximar de a partir de qualquer lado; ao contrário, continuam diminuindo.

Passo 5

Com base nessa análise, vamos ver como as soluções se comportam para diferentes valores iniciais :
  • Se e : aumenta e se aproxima de quando .
  • Se : diminui e se aproxima de quando .
  • Se : diminui sem parar, tendendo a quando aumenta.
  • Se : também diminui sem parar, indo para .

Resposta

A opção f está correta:
f Se , então , quando cresce. Se , então a solução se aproxima de , quando .

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