Considere a solução do problema de valor inicial
Podemos afirmar que:
Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
b Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
ou
, então
, quando
cresce.
c Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
d
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
e Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
. Se
, então
, quando
cresce.
f Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.
b Se
c Se
d
e Se
f Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial:
Aqui, queremos descobrir para quais valores de
a solução
se comporta de determinada maneira quando
tende ao infinito. Vamos precisar entender os pontos de equilíbrio e analisar o comportamento da solução em torno desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio, ou seja, os valores de
para os quais
. Igualando a equação a zero:
Isso acontece quando:
-
-
-
ou
Então, nossos pontos de equilíbrio são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da solução em cada intervalo determinado por esses pontos de equilíbrio. Vamos dividir a linha dos números reais em regiões e verificar o sinal de
em cada uma delas:
-
Para
: -
é negativo. -
é negativo. -
é positivo.
Então:Isso significa queestá diminuindo. -
-
Para
: -
é negativo. -
é positivo (porque ). -
é negativo (pois ).
Então:Novamente,está diminuindo. -
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é negativo.
Então:Agora,está aumentando. -
-
Para
: -
é positivo. -
é positivo. -
é positivo.
Então:Aqui,está diminuindo. -
Passo 4
Vamos resumir o que descobrimos:
-
: É um ponto estável porque as soluções próximas a tendem a se aproximar de quando vai para o infinito. -
: É um ponto instável. Se você começa um pouco acima de 0, aumenta; se começa abaixo, diminui. -
: Não é um ponto estável. As soluções não tendem a se aproximar de a partir de qualquer lado; ao contrário, continuam diminuindo.
Passo 5
Com base nessa análise, vamos ver como as soluções se comportam para diferentes valores iniciais
:
- Se
e : aumenta e se aproxima de quando . - Se
: diminui e se aproxima de quando . - Se
: diminui sem parar, tendendo a quando aumenta. - Se
: também diminui sem parar, indo para .
Resposta
A opção f está correta:
f Se
, então
, quando
cresce. Se
, então a solução se aproxima de
, quando
.