Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
1/4 dy/dt + (-3/4 + 1/t) y = t e^(3t)
y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c (e^(3 t) / t^4).
d y(t) = (2 t^2 / 3) e^(3 t) + c.
b y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t/4)/t.
(e) y(t) = (4t/9 + 128/(729t) - 32/81) e^(3t) + c e^(3t)/t^4.
c y(t) = (4/(3 t^3) - 4/(9 t^4)) e^(-6 t) + c e^(3 t)/t^4.
f] y(t) = (2 * t^2) / 3 * e^(3 * t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação:
Aqui, a matéria envolvida é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, multiplicamos toda a equação original por 4 para eliminar as frações:
Agora, identificamos:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ), que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante fica:

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação diferencial por :
Simplificando o lado direito:
E o lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
A integral do lado esquerdo simplesmente retorna , e a do lado direito:
Então:

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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