Qual das alternativas representa uma solução da equação y^prime=(3 x^2-1) /(3+2 y). 3 y+y^2-x^3+x=1; desde que y neq 3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução da EDO
y'=3x^2-13+2y,
isto é, uma função y(x) que satisfaça essa relação, lembrando que o denominador não se anula, ou seja 3+2yneq0 (dado no enunciado como yneq3/2).

Passo 2

Note que a equação é separável: podemos escrever
dydx=3x^2-13+2y Longrightarrow (3+2y),dy=(3x^2-1),dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
integral(3+2y),dy = integral(3x^2-1),dx

Passo 4

Calculemos cada integral:
integral(3+2y),dy = 3y + y^2 + C1,
integral(3x^2-1),dx = x^3 - x + C2
Igualando (absorvendo a diferença C=C2-C1 num único valor constante), obtemos
3y + y^2 = x^3 - x + C

Passo 5

Reescrevendo em forma implícita,
3y + y^2 - x^3 + x = C
Escolhendo C=1, chega-se à solução implícita dada:
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
com a condição yneq 3/2 para manter 3+2yneq0.

Resposta

A solução implícita é
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
com yneq 3/2.

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