Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que: Ela não é exata, mas x e^2 y-sen(x y)+y^2-1=0 é uma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^2y-ycos(xy)r),dx+l(2x e^2y-xcos(xy)-2yr),dy=0
e afirma que “ela não é exata, mas
x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0
é uma solução”. Vamos verificar a exatidão da equação e, em seguida, encontrar a solução geral correta, comparando com a proposta.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=e^2y-ycos(xy),
N(x,y)=2x e^2y-xcos(xy)-2y
Calculamos
partial Mpartial y =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy),
partial Npartial x =2e^2y-cos(xy)+xysin(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y)=integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x,e^2y-integral ycos(xy),dx =x,e^2y-sin(xy)+h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Para achar h(y), usamos
partial Phipartial y =2x e^2y-xcos(xy)+h'(y)
e igualamos a N(x,y):
2x e^2y-xcos(xy)+h'(y) =2x e^2y-xcos(xy)-2y ;Longrightarrow; h'(y)=-2y ;Longrightarrow; h(y)=-y^2+C

Passo 5

Logo, a potencial é
Phi(x,y)=x,e^2y-sin(xy)-y^2+C,
e a solução geral implícita é
x,e^2y-sin(xy)-y^2=C

Passo 6

A solução proposta no enunciado era
x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0 Long<=ftrightarrow x,e^2y-sin(xy)+y^2=1,
mas no nosso resultado o sinal de y^2 é negativo. Portanto a afirmação “ela não é exata, mas x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0 é uma solução” está incorreta.

Resposta

A afirmação é falsa: a equação é exata e a solução geral correta é
x,e^2y-sin(xy)-y^2=C

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