Qual das alternativas representa uma solução da equação y^prime=(3 x^2-1) /(3+2 y). 3 y+y^2-x^3+x=1; desde que y neq 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
y' = 3x^2 - 13 + 2y
e pede uma solução. Reconhecemos que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar x e y e integrar.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (3+2y),dx, obtendo
(3 + 2y),dy = (3x^2 - 1),dx
Agora integramos cada lado em relação à sua variável.

Passo 3

Calculemos as integrais. No lado de y:
integral (3 + 2y),dy = integral 3,dy + integral 2y,dy = 3y + y^2 + C1
No lado de x:
integral (3x^2 - 1),dx = x^3 - x + C2

Passo 4

Igualando as primitivas e reunindo as constantes em C = C2 - C1, vem
3y + y^2 - x^3 + x = C
O enunciado fixa C=1, então

Passo 5

A solução implícita fica
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
com a condição de existência da EDO 3 + 2y neq 0, isto é, y neq -tfrac32.

Resposta

A solução é dada por
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
desde que y neq -tfrac32.

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