Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que: Ela não é exata, mas x e^2 y+cos (x y)+y^2-1=0 é uma solução.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(e^2y-ycos(xy)r),dx ;+;l(2x,e^2y-xcos(xy)-2yr),dy=0,
e afirma que “ela não é exata, mas
x e^2y+cos(xy)+y^2-1=0
éuma solução”.
O conteúdo aqui é equações exatas: primeiro testamos se
partial M/partial y=partial N/partial x; se sim, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix=M e psiy=N, e a solução geral é psi(x,y)=C.

Passo 2

Calculemos
M(x,y)=e^2y-ycos(xy),
partial Mpartial y =2e^2y -cos(xy) +xysin(xy)
E
N(x,y)=2x,e^2y-xcos(xy)-2y,
partial Npartial x =2e^2y -cos(xy) +xysin(xy)

Passo 3

Como
partial Mpartial y =partial Npartial x,
a equação é exata, ao contrário do que afirma o enunciado.

Passo 4

Para achar a função potencial psi, integramos M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x,e^2y-integral ycos(xy),dx =x,e^2y-sin(xy)+h(y)
Depois, impomos psiy=N:
partialpsipartial y =2x,e^2y-xcos(xy)+h'(y) stackrel!=2x,e^2y-xcos(xy)-2y ;Longrightarrow; h'(y)=-2y ;Longrightarrow; h(y)=-y^2+C

Passo 5

Assim, a solução geral implícita é
psi(x,y)=x,e^2y-sin(xy)-y^2=C Long<=ftrightarrow x,e^2y-sin(xy)-y^2=C

Passo 6

O candidato dado
x,e^2y+cos(xy)+y^2-1=0
não bate com a forma correta (aparece cos(xy) em vez de -sin(xy) e sinal errado em y^2), logo não é solução da equação exata.

Resposta

A afirmação é falsa: a equação é exata e a solução geral correta é
x,e^2y-sin(xy)-y^2=C

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