Sobre a equação
; é correto afirmar que: Ela é exata e
é uma solução.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
e afirma que ela é exata e que
é uma solução. Vamos (i) verificar a exatidão, (ii) encontrar a função potencial
e (iii) comparar com a expressão dada.
Passo 2
Definimos
Compute-se as derivadas parciais
Como
, a equação é de fato exata.
Passo 3
Procuramos
tal que
e
.
Integrando em relação a
:
Integrando
Aqui usamos
.
Passo 4
Para determinar
, igualamos
a
:
Logo
, de onde
.
Portanto
Portanto
A solução implícita geral é
Passo 5
Comparando com a forma dada
, vemos que o termo em
aparece com sinal trocado. A solução correta é
portanto a fórmula proposta no enunciado está incorreta.
Resposta
A equação é exata, mas a solução geral correta é
e não
.