Sobre a equação (e^2 y-y cos (x y)) d x+(2 x e^2 y-x cos (x y)-2 y) d y=0; é correto afirmar que: Ela é exata e x e^2 y-sen(x y)+y^2-1=0 é uma solução.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
l(e^2y-ycos(xy)r),dx ;+;l(2x e^2y-xcos(xy)-2yr),dy ;=;0
e afirma que ela é exata e que
x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0
é uma solução. Vamos (i) verificar a exatidão, (ii) encontrar a função potencial psi(x,y) e (iii) comparar com a expressão dada.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=e^2y-ycos(xy), N(x,y)=2x e^2y-xcos(xy)-2y
Compute-se as derivadas parciais
partial Mpartial y =2e^2y -cos(xy) +xy,sen(xy),
partial Npartial x =2e^2y -cos(xy) +xy,sen(xy)
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é de fato exata.

Passo 3

Procuramos psi(x,y) tal que
psix=M e psiy=N.
Integrando M em relação a x:
psi(x,y) =integrall(e^2y-ycos(xy)r),dx =x,e^2y -integral ycos(xy),dx =x,e^2y -sen(xy) +H(y)
Aqui usamos integral cos(xy),dx=tfrac1ysen(xy).

Passo 4

Para determinar H(y), igualamos psiy a N:
psiy =2x e^2y -l[xcos(xy)r] +H'(y) stackrel!= 2x e^2y-xcos(xy)-2y
Logo H'(y)=-2y, de onde H(y)=-y^2+C.
Portanto
psi(x,y) =x,e^2y -sen(xy) -y^2 +C
A solução implícita geral é
psi(x,y)=C Long<=ftrightarrow x e^2y-sen(xy)-y^2=C

Passo 5

Comparando com a forma dada x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0, vemos que o termo em y^2 aparece com sinal trocado. A solução correta é
x e^2y-sen(xy)-y^2=C,
portanto a fórmula proposta no enunciado está incorreta.

Resposta

A equação é exata, mas a solução geral correta é
x e^2y-sen(xy)-y^2=C
e não x e^2y-sen(xy)+y^2-1=0.

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