Um cultura de bactérias possuia inicialmente uma quantidade Q0 de bactérias. Após uma hora o número de bactérias é de 3 Q0 / 2. Se a razão de crescimento é proporcional ao número de bactérias Q(t) presente em um tempo t, é correto afirmar que a equação que descreve este fenômeno, bem como a constante de proporcionalidade ( r ), e o tempo t0 necessário para que o número de bactérias triplique são respectivamente:

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento de bactérias em que a taxa de variação é proporcional ao número presente, ou seja,
dQdt = r,Q(t)
com Q(0)=Q0 e Q(1)=tfrac32Q0. Precisamos obter a solução geral Q(t), determinar r e achar o tempo t0 tal que Q(t0)=3Q0.

Passo 2

Integramos a equação diferencial separável:
dQQ = r,dt
Integrando, vem
ln Q = r,t + C
Em t=0, Q=Q0 implica C = ln Q0. Logo
Q(t) = Q0,e^rt

Passo 3

Usamos a condição Q(1)=tfrac32Q0:
Q0,e^rcdot1 = 32,Q0 Longrightarrow e^r = 32 Longrightarrow r = ln!l(tfrac32r)

Passo 4

Para triplicar: Q(t0)=3Q0. Assim,
Q0,e^r,t0 = 3,Q0 Longrightarrow e^r,t0 = 3 Longrightarrow r,t0 = ln 3 Longrightarrow t0 = ln 3r = ln 3ln!l(tfrac32r)

Resposta

A equação é
Q(t)=Q0,e^rt,
com
r = lnl(tfrac32r),
e o tempo para triplicar é
t0 = ln 3lnl(tfrac32r) horas

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