Com relação ao problema de valor inicial y^prime-y=t, y(0)=4; é correto afirmar que o fator integrante mu(t) e a solução y(t) são respectivamente: mu(t)=e^t ; y(t)=-t-1+5 e^-t.

Passo 1

O enunciado é o problema de valor inicial
y' - y = t, y(0)=4
Trata-se de uma equação diferencial linear de 1º ordem no formato
y' + P(t),y = Q(t),
com P(t)=-1 e Q(t)=t. Para resolver, precisamos achar o fator integrante mu(t) e depois usar a condição inicial.

Passo 2

O fator integrante é dado por
mu(t) = expgl(integral P(t),dtgr) = expgl(integral -1,dtgr) = e^-t
Logo, a proposta mu(t)=e^t está trocada: o correto é mu(t)=e^-t.

Passo 3

Multiplicando a equação original por e^-t obtemos
e^-ty' - e^-ty = t,e^-t Longrightarrow l(e^-tyr)' = t,e^-t
Integramos em t:
integral l(e^-tyr)',dt = integral t,e^-t,dt Longrightarrow e^-ty = -,(t+1)e^-t + C,
pois integral t,e^-t,dt=-(t+1)e^-t+C.

Passo 4

Multiplicando por e^t e aplicando y(0)=4:
y = -(t+1) + C,e^t,
y(0)=4 ;Longrightarrow; -1 + C = 4 ;Longrightarrow; C = 5
Portanto a solução exata é
y(t) = -,t - 1 + 5,e^t

Passo 5

Comparando com a afirmação dada, vemos que ambos estão incorretos:
bul<=t O fator integrante correto é mu(t)=e^-t, não e^t.
bul<=t A solução correta é y(t)=-t-1+5e^t, não -t-1+5e^-t.

Resposta

Não. O fator integrante correto é mu(t)=e^-t e a solução é
y(t) = -,t - 1 + 5,e^t

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