Qual das alternativas representa uma solução para a equação y^prime=(3 x^2-1) /(3+2 y). 3 y-y^2-x^3-x=1; desde que y>3 / 2.

Passo 1

Temos a EDO
y' = 3x^2 - 13 + 2y,,
que é do tipo separável: podemos escrever em forma de diferenciais como
(3 + 2y),dy = (3x^2 - 1),dx

Passo 2

Integramos ambos os lados:
integral(3 + 2y),dy = integral(3x^2 -1),dx
No lado esquerdo
integral(3 + 2y),dy = 3y + y^2 + C1,
e no direito
integral(3x^2 -1),dx = x^3 - x + C2

Passo 3

Igualando as integrais e reunindo constantes em uma só , obtemos a solução implícita
Reescrevendo em forma “alternativa”, isso equivale a

Passo 4

Para escolher a constante e garantir y>3/2 basta fixar C. Se a alternativa em questão for
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
então temos um caso particular com C=1. Além disso, ao isolar
y^2 + 3y - (x^3 - x +1)=0
e usar a fórmula de Bhaskara, o ramo que dá y>3/2 é o de sinal “ +” na raiz.

Resposta

A alternativa correta é
3y + y^2 - x^3 + x = 1,
com a escolha do ramo y>3/2.

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