Com relação ao problema de valor inicial d yd x=raiz-y^2+1+raiz1-x, y(x0)=y0; qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que temos uma única solução? x0 <= 1 e |y0|<1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx = raiz-y^2 + 1 + raiz1 - x, y(x0)=y0,
e pede para identificar todos os pontos (x0,y0) em que há garantia de existência e unicidade de solução. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que a função
f(x,y)=raiz1 - y^2 + raiz1 - x
seja contínua numa vizinhança de (x0,y0) e Lipschitz em y nessa mesma vizinhança.

Passo 2

Para que f(x,y) esteja bem definida (raízes reais), precisamos de
1 - y^2 >= 0 e 1 - x >= 0
Isto impõe
|y|<= 1 e x<= 1
Logo a região natural de definição de f é
D = (x,y)mid x<= 1,;|y|<= 1

Passo 3

Dentro de D, cada termo raiz1 - y^2 e raiz1 - x é contínuo, então f é contínua em D. Assim, a condição de existência local de solução já pede apenas (x0,y0)in D.

Passo 4

Para garantir unicidade via Picard–Lindel"of, precisamos de Lipschitz em y. Calculemos a derivada parcial
partial fpartial y = ddyl(raiz1 - y^2r) = -yraiz1 - y^2
Esse termo só é contínuo (portanto limitado em torno de y0) se o denominador não se anular, ou seja, se
|y|<1
Logo, para Lipschitz em y, precisamos que |y0|<1.

Passo 5

Reunindo as condições:
– Para f ser contínua: x0<= 1 e |y0|<= 1.
– Para f ser Lipschitz em y: |y0|<1.
Portanto, a região em que temos garantia de existência e unicidade é
(x0,y0)mid x0<= 1,;|y0|<1

Resposta

x0<= 1 e lvert y0rvert<1.

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