Com relação ao problema de valor inicial
; qual das alternativas representa todos os pontos
para os quais podemos garantir que temos uma única solução?
e
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede para identificar todos os pontos
em que há garantia de existência e unicidade de solução. Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of, que exige que a função
seja contínua numa vizinhança de
e Lipschitz em
nessa mesma vizinhança.
Passo 2
Para que
esteja bem definida (raízes reais), precisamos de
Isto impõe
Logo a região natural de definição de
é
Passo 3
Dentro de
, cada termo
e
é contínuo, então
é contínua em
. Assim, a condição de existência local de solução já pede apenas
.
Passo 4
Para garantir unicidade via Picard–Lindel"of, precisamos de Lipschitz em
. Calculemos a derivada parcial
Esse termo só é contínuo (portanto limitado em torno de
) se o denominador não se anular, ou seja, se
Logo, para Lipschitz em
, precisamos que
.
Passo 5
Reunindo as condições:
– Para ser contínua:
e
.
– Para ser Lipschitz em
:
.
Portanto, a região em que temos garantia de existência e unicidade é
– Para
– Para
Portanto, a região em que temos garantia de existência e unicidade é