Dado que y1(t)=t^2 é uma solução da equação t^2 y^prime prime-4 t y^prime+6 y=0, t>0; podemos afirmar que uma segunda solução y2(t), bem como o Wronskiano W(y1, y2)(t) são: y2(t)=1 / raizt e W(t)=52 raizt.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Euler–Cauchy
t^2y''-4t,y'+6y=0, t>0
e informa que ,y1(t)=t^2 é uma solução. Pede-se uma segunda solução y2(t) e o Wronskiano W(y1,y2)(t).

Passo 2

Dividindo a equação por t^2 obtemos a forma padrão
y'' - 4ty' + 6t^2y = 0,
onde identificamos p(t)=-tfrac4t.

Passo 3

Usamos o método de redução de ordem: procuramos y2=v(t),y1. A fórmula para v' é
v'=expl(-integral p(t),dtr)y1^2 =expl(-integral -4t,dtr)(t^2)^2 =t^4t^4=1

Passo 4

Integrando v'=1 achamos
v(t)=integral 1,dt = t,
logo
y2(t)=v(t),y1(t)=tcdot t^2=t^3

Passo 5

O Wronskiano é
W(y1,y2)(t) =t^2&t^32t&3t^2 =t^2cdot 3t^2-t^3cdot 2t =3t^4-2t^4=t^4

Passo 6

A afirmação proposta ( y2=1/raizt e W=tfrac52raizt) não coincide com o que encontramos.

Resposta

A afirmação é falsa. As respostas corretas são
y2(t)=t^3, W(y1,y2)(t)=t^4

Exercícios relacionados