Com relação ao problema de valor inicial
; qual das alternativas representa todos os pontos
para os quais podemos garantir que temos uma única solução?
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pergunta para quais pontos
podemos garantir existência e unicidade de solução. O conteúdo é o Teorema de Picard– Lindel"of, que exige que a função
seja contínua num retângulo em
contendo
e lipschitz em
nesse mesmo retângulo.
Passo 2
Determinamos o domínio natural de
pelas condições que tornam as raízes bem definidas:
.
exige
, ou seja
.
.
exige
, ou seja
.
Logo o domínio é
Logo o domínio é
Passo 3
Para aplicação do teorema precisamos de:
.
contínua em um retângulo aberto contendo
.
.
contínua nesse retângulo (isso garante lipschitz em
).
Passo 4
Calculamos
Esse quociente é contínuo apenas quando o denominador não zera, ou seja para
. Além disso
é contínua para
.
Passo 5
Para achar um retângulo aberto em que
e
sejam contínuas em torno de
precisamos de
Então nessas condições vale o Teorema de Picard– Lindel"of e garantimos existência e unicidade local da solução.
Resposta
Todos os
tais que