Com relação ao problema de valor inicial d yd x=raiz-y^2+1+raiz1-x, y(x0)=y0; qual das alternativas representa todos os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que temos uma única solução?

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx = raiz-y^2 + 1 + raiz1 - x, y(x0)=y0
e pergunta para quais pontos (x0,y0) podemos garantir existência e unicidade de solução. O conteúdo é o Teorema de Picard– Lindel"of, que exige que a função
f(x,y) = raiz1-y^2 + raiz1-x
seja contínua num retângulo em (x,y) contendo (x0,y0) e lipschitz em y nesse mesmo retângulo.

Passo 2

Determinamos o domínio natural de f pelas condições que tornam as raízes bem definidas:
1. raiz1-y^2 exige 1-y^2>=0, ou seja -1<= y<=1.
2. raiz1-x exige 1-x>=0, ou seja x<=1.
Logo o domínio é
D = (x,y)mid x<=1,,-1<= y<=1

Passo 3

Para aplicação do teorema precisamos de:
1. f contínua em um retângulo aberto contendo (x0,y0).
2. partial f/partial y contínua nesse retângulo (isso garante lipschitz em y).

Passo 4

Calculamos
partial fpartial y = ddyraiz1-y^2 = -yraiz1-y^2
Esse quociente é contínuo apenas quando o denominador não zera, ou seja para |y|<1. Além disso raiz1-x é contínua para x<1.

Passo 5

Para achar um retângulo aberto em que f e partial f/partial y sejam contínuas em torno de (x0,y0) precisamos de
x0 < 1 e -1 < y0 < 1
Então nessas condições vale o Teorema de Picard– Lindel"of e garantimos existência e unicidade local da solução.

Resposta

Todos os (x0,y0) tais que
x0<1 e -1<y0<1

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