Com relação ao P.V.I. y^prime prime+alpha y=3 cos (2 t), y(0)=0 e y^prime(0)=0. Todos os valores de alpha in R para os quais a solução torna-se ilimitada são: nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

O problema é o P.V.I.
y''+alpha,y=3cos(2t), y(0)=0, y'(0)=0,
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante. Vamos estudar para quais valores de alpha a solução y(t) fica ilimitada (cresce sem limite) em t.

Passo 2

Caso alpha>0 e alphaneq4.
A equação característica é
r^2+alpha=0Rightarrow r=pm iraizalpha,
logo a solução homogênea é
yh(t)=Acosl(raizalpha,tr)+Bsinl(raizalpha,tr)
Para o particular usamos
yp(t)=Ccos(2t)+Dsin(2t),
e obtemos D=0, C=dfrac3alpha-4. Assim
y(t)=Acos(raizalphat)+Bsin(raizalphat)+3alpha-4cos(2t),
que é soma de funções limitadas, portanto y(t) é limitada.

Passo 3

Caso alpha=4.
A frequência de forçamento 2 coincide com a frequência natural raizalpha=2, há ressonância. Tomamos ansatz
yp(t)=tl(Ccos(2t)+Dsin(2t)r),
o que gera termos proporcionais a tsin(2t) ou tcos(2t). Esses termos crescem linearmente em t, então a solução é ilimitada.

Passo 4

Caso alpha=0.
A equação vira
y''=3cos(2t)
A solução homogênea é yh(t)=A+Bt. Um particular é
yp(t)=-34cos(2t)
Impondo y(0)=0 e y'(0)=0 obtemos B=0 e A=3/4, e a solução final
y(t)=34-34cos(2t)
é limitada.

Passo 5

Caso alpha<0.
Defina beta=raiz-alpha>0. A equação característica é
r^2-beta^2=0Rightarrow r=pmbeta,
logo
yh(t)=C,e^beta t+D,e^-beta t
Um particular é da forma C'cos(2t), com valor finito. As condições iniciais determinam Cneq0, de modo que a parte C,e^beta t cresce exponencialmente e torna y(t) ilimitada.

Resposta

Todos os alpha que fazem a solução ilimitada são
alpha<0oualpha=4

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