Qual das alternativas representa todos os pontos ( x0, y0 ) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d yd x=raizx^2-y^2, y(x0)=y0; tem uma única solução? x0 >=|y0| ou x0 <=-|y0|.

Passo 1

Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of para caracterizar onde o PVI
dydx=raizx^2 - y^2, y(x0) = y0
tem exist^encia e unicidade garantidas. Para isso precisamos de um ret^angulo centrado em (x0,y0) no qual a fun\c{c}~ao
f(x,y) = raizx^2 - y^2
e sua derivada parcial em rela\c{c}~ao a y sejam cont’inuas.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio de f. A raiz quadrada exige
x^2 - y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow |y|<= |x|
Logo f está definida em todo ponto (x,y) tal que |y|<=|x|.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
partial fpartial y(x,y) = partialpartial yl(x^2-y^2r)^1/2 = -,yraizx^2-y^2
Essa expressão só é contínua quando o denominador é estritamente positivo, isto é,
x^2 - y^2 >0 Long<=ftrightarrow |y|<|x|

Passo 4

O Teorema de Picard–Lindel"of garante exist^encia e unicidade local sempre que f e partial f / partial y s~ao cont’inuas em um ret^angulo aberto em torno de (x0,y0). Portanto precisamos de
x0^2 - y0^2 > 0 Long<=ftrightarrow |x0| > |y0|

Passo 5

A condição |x0|>|y0| pode ser decomposta nas duas regiões disjuntas:
x0 > |y0| ou x0 < -,|y0|

Resposta

A condição para garantirmos existência e unicidade é
|x0|>|y0|,
isto é,
x0>|y0|ou x0<-lvert y0rvert

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