Qual das alternativas representa todos os pontos (
) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial
; tem uma única solução?
ou
.
Passo 1
Vamos usar o Teorema de Picard–Lindel"of para caracterizar onde o PVI
tem exist^encia e unicidade garantidas. Para isso precisamos de um ret^angulo centrado em
no qual a fun\c{c}~ao
e sua derivada parcial em rela\c{c}~ao a
sejam cont’inuas.
Passo 2
Primeiro observamos o domínio de
. A raiz quadrada exige
Logo
está definida em todo ponto
tal que
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa expressão só é contínua quando o denominador é estritamente positivo, isto é,
Passo 4
O Teorema de Picard–Lindel"of garante exist^encia e unicidade local sempre que
e
s~ao cont’inuas em um ret^angulo aberto em torno de
. Portanto precisamos de
Passo 5
A condição
pode ser decomposta nas duas regiões disjuntas:
Resposta
A condição para garantirmos existência e unicidade é
isto é,